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一般认为，数学是一门比较成熟的学科，以至于人们往往以“数学化”的程度来评判其他学科的成熟程度。“数学化”既是数学教学活动的目的，也是实现教学目的之手段。弗赖登塔尔认为数学化分横向数学化和纵向数学化两种。横向数学化是“把生活世界引向符号世界”，纵向数学化是“在符号世界里，符号的生成、重塑和被使用”。一般人们将横向数学化理解为将现实与数学建立联系；纵向数学化则常理解为是建立抽象的数学知识之间的联系，常常包含着抽象和形式化。 小学数学学习中有很多数学概念。作为用数学语言和符号揭示事物本质属性的思维形式，概念学习相对比较抽象，纵向数学化是不可避免的。但实际教学中往往过多依赖于具体的直观，纵向数学化受重视的程度还不够。甚至我们已经过多地注重了横向数学化，而导致了学习过程中对纵向数学化的下意识回避，其直接后果就是学生对于所学的内容缺乏深刻的理解，无法建构起整体的联系。 事实上，课程改革重视横向数学化，并不代表可以忽略纵向数学化，从发展思维的角度看，纵向数学化有更重要的价值。 一、小学生需要纵向数学化吗 小学生的思维特点是以形象思维为主。学生在理解抽象的知识时，由于受心理因素的影响容易遇到一些学习障碍，比如辨认困难，缺乏空间想象力等。此时，设计合理的生活情境，给学生提供具体的材料，具有将儿童思维从生活引入学科的作用。 那么小学生的数学学习中有没有纵向数学化呢？以加法为例，两只小猴分别摘了8个桃和5个桃，一共摘了多少个桃？类似的问题可以被抽象为：8和5合起来是几？这属于横向数学化。接着列出算式8＋5，考虑加法怎么算就是纵向数学化中算法的问题。随着学生的学力增长，数学化是可以从横向进一步往纵向深入的。 从下面的案例中我们可以看到，纵向数学化有时候更能发展学生的数学思维。教学《圆的认识》，教师出示信封中的一个圆和一些直边的图形，询问学生能否从这一堆平面图形中把圆“摸”出来。学生当然说“能”，教师便引导学生思考“为什么”，让学生比较圆和直线图形的边的特征，建立圆是曲线图形的概念。接着，教师又从信封中取出不规则的曲线图形和椭圆，让学生继续“摸”。学生判断能摸出并准确地说出依据，体会这些图形“凹凸不平”“不均匀”等不同于圆的特质，突显了圆“饱满”“均匀”的特点。 学生在这个过程中根本没有实际动手去摸，但是很明显地，他们的感受是深刻的，思维是理性的。可见，现实背景和实践操作能为学生理解概念提供有效的感知基础，但不是唯一的途径。分析、抽象对于小学生来说存在一定的难度，但某种程度上，也正是这种难度让学生的学习变得有意义了。 更进一步说，在几何学中的知觉表象空间并不等于几何空间。奥地利数学家和心理学家恩斯特·马赫指出：人们的空间感觉的系统与欧氏空间是不同的。几何空间在一切地方和在一切方向都是同一性质的，是无边界的和无限的。视觉空间是有边界的和有限的，而且它的广延在不同方向是不同的， “天穹顶”就是一个极好的例子。法国著名数学家昂利·彭加勒也认为，通过感觉和表象掌握的空间是与几何学家所掌握的空间完全不相同的。 这些精通感官或生理心理学的数学家都否认了知觉表象空间与几何空间的一致性。因为“几何学原理并不是经验的事实。”同时，实验心理学在这方面为上述观点也提供了可信的证据。因此，纵向数学化即使在小学阶段也是有价值的。 二、合理认识抽象的地位 静态地看，概念是知识的基本单位；动态地看，概念是思维的基本单位。对于数学学习而言，概念的形成、理解与掌握是最基本的、起着基石性作用的认知活动，是数学学习中的“基础工程”。 几何概念是抽象的。荷兰范·希尔夫妇针对平面图形的认识提出如下的几何思维水平：水平1为直观化；水平2为描述/分析；水平3为抽象/关联；水平4为演绎/形式化推理；水平5为严密/元数学。学生通过思维水平的进步，从直观化水平不断地提高到描述、分析、抽象和演绎等复杂水平。这实际上也说明了从直观辨认到探索特征是符合儿童的认知规律的。因此概念的形成不可能停留在直观感知的水平上，必须引导学生进行抽象思维。 有这样一道习题：至少要用多少块棱长为1厘米的小正方体才能拼成一个较大的正方体？教师在发现许多学生无从下手时，便启发学生先拼一拼，再数一数。学生通过动手操作，发现至少要用8块。如果教学就此结束，那么操作是表面的；但是如果老师在学生通过操作得出8块后，趁势引导学生观察并思考：为什么会是8块？学生则可能体会到因为沿着长、宽、高各都摆了2块，每层都要摆2×2=4(块)，要摆2层，所以是4×2=8(块)，进而认识到这里的每个“2”分别代表的是正方体的棱长，总块数等于正方体棱长的立方。教师引导学生验证：这个发现究竟对不对呢？需要验证。假如要拼一个棱长为3厘米的正方体，至少需要多少块这样的小正方体？尽管一些学生还是依赖动手拼，但许多学生已开始借助表象，进行想象并抽象成算式：3×3×3=27（块）。在此基础上，教师继续追问：假如要拼一个棱长为a厘米的正方体（a为自然数），一共需要多少块这样的小正方体？你能想象出拼成的图形吗？这样的教学由特殊到一般，及时把学生的感性认识上升到理性，促进学生空间观念的形成和抽象思维的发展。无独有偶，D. Tall有关从初等数学到高等数学发展认知结构的研究表明：虽然几何最初是以感知的对象为对象的，并且是以图像型为基础的，但它的进一步发展有一个语言和概念推演的转化过程，直至几何的完全形式化。 许多数学概念在小学阶段是相对浅显、模糊、表述不完善的（其中当然有考虑小学生的年龄以及心理特征的原因）。小学阶段未必能够让学生完整理解纯抽象的概念，但是利用纵向的数学化活动适当作抽象的训练和学习，为“纯数学的研究”作准备则是有可能的。 三、我们需要什么样的数学学习过程 如果说过去的数学教学在某种程度过于重视结果而忽视了过程，那么当下的教学既要重视结果，也要重视过程。这并不是结果是可有可无的。
实际上，任何学习都是有阶段性的，在某一阶段，学生经过学习会经历一些过程，同时得到一些结论。弗赖登塔尔认为这样的结论在高一层学习中又作为继续学习的常识和基础。这些结论会“再一次被提炼、组织，而凝聚成新的法则，新的法则又成为新的常识，如此不断地螺旋上升，以至于无穷”。 教学分数除法的时候，教师出示例题9/20÷3/5，教学预设是学生联系上节课分数除以整数的知识进行迁移。然而一个学生说9÷3/20÷5=3/4，但其给出的理由是：“分数乘法是分子乘分子，分母乘分母，除法应该也可以啊。”于是，教师又写出一个算式：3/5÷2/3，学生仍然采用这样的算法：3/5÷2/3=18/30÷2/3=18÷2/30÷3=9/10。显然，学生的想法是合理的，也是正确的，只是与教科书上希望他们掌握的方法不一致。弗赖登塔尔指出：“数学教育本身是个过程，不仅是传授知识，更要在过程中让学生亲身实践而抓住其发展规律，学会抽象化、形式化的方法。”实际上，如果教师愿意在课堂上拿出一些时间，引导学生继续研究这个问题，就会发现，学生解题的原理就是颠倒相乘的法则，因为：a/b÷c/d=acd/bcd÷c/d=ad/bc。教师完全可以肯定学生思路正确，并引导他们在课堂上从数理的角度得出这样的结论，这不正是“学生通过自己的努力得到的结论和创造”成为教育内容的一部分么？而且这样的结论是逻辑严谨，构造巧妙的探索。思维质量的提高，才能让课堂的对话真正精彩。 柏拉图谈及数学思想时说数学“使灵魂由变幻的世界转向真理”。今日看来，我们不妨理解为是培养人的理性精神。对于学生来说，这种理性是可以通过中小学阶段的数学学习而得到相对有效培养的。横向数学化为学生正确地感知学习内容铺平了道路，纵向数学化则为培养理性精神打开了一扇门。即使是小学生建构的数学也需要系统性，这种“系统性”正是纵向数学化应该完成的任务。
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