著名特级教师王永“小学数学课堂教学的数学化”探讨实录

这里所说的“数学化”更注重生活数学化，课程内容数学化，还是教学方法数学化，或者其他？“数学化”是数学教学手段、目的，还是特征？  
      王老师：数学化”是弗赖登塔尔数学教育思想的核心。
      今天我们看到以数学活动为载体的小学数学课程，强调“向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验”。

           数学作为人类的一种活动，它的主要特征是数学化。数学的根源在于普通的常识，在于学生已有的生活经验。
          数学教学要通过数学活动让学生亲身经历对现实进行数学化的过程，使数学变成是他们自己“再创造”的产物，而不是成人强加给他们的东西。
         所以，数学化是学生自己的活动，不是教师的活动；数学化的对象是学生熟悉的现实，不是成人的现实。教师的责任首先是创设适合于学生进行数学化活动的具体的现实的情境，并有效地指导他们参与到数学化的各个方面中去。
  
         例如，小学一年级学生怎样学习加法呢？            首先要向学生提供熟悉的现实情境：笑笑左手拿着2支铅笔，右手拿着3支铅笔，她一共有几支铅笔？（用两幅图呈现这个实际问题）
         其次，指导学生参与如下的数学活动：
           ①笑笑的一只手拿着几支铅笔，你就在本子上画几个小圆圈；
           ②笑笑的另一只手拿着几支铅笔，你在本子上继续画上几个小圆圈；
           ③数一数你的本子上一共画了几个小圆圈？
           ④想一想：你所画的这些小圆圈表示什么意义？
         让每个学生都经历上述画图、数数与思考等数学活动，都体验并获得一个数学事实：2支铅笔与3支铅笔合起来一共有5支铅笔。
         在这个基础上，教师才把这个数学事实加以形式化，写出加法算式：2＋3＝5或3＋2＝5，并指导学生结合具体情境运用语言描述或解释算式中每一个数字或符号的意义。进而让学生在新的情境中尝试应用加法算式，表示现实生活中大量存在的加法结构。
  
       这就是课程标准强调的：“从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程”，也就是经历数学化的过程。我所理解的“数学化”，既是数学教学活动的目的，也是实现目的的手段。
           数学化是否就是培养学生的数学建模思想？数学化与纯数学之间有什么联系与区别？
         数学化有横向数学化和纵向数学化之分。在弗赖登塔尔看来，横向数学化“是把生活世界引向符号世界”，而“在符号世界里，符号的生成、重塑和被使用”，则是纵向数学化。
         是否也可以这样理解：横向数学化的产物是生成数学与生活的联系，纵向数学化的产物是生成抽象的数学知识之间的联系。数学建模只是数学化的一个方面，它关注的是横向数学化的因素，并不是数学化的全部。将实际问题抽象成数学模型，这个“模型”是不可缺少的一种中介，用它把复杂的现实来理想化或简单化，从而更易于进行形式的数学处理。         
        所谓纯数学，如果是指脱离了现实背景的抽象的形式化的数学理论与方法，它却是纵向数学化所要生成的东西。对数学模型进行形式的数学处理，就是纵向数学化的过程。
        有趣的是，弗赖登塔尔原来并不接受横向与纵向数学化的划分，但最终他不仅接受了这种划分的思想，甚至到了极力推崇的地步。原因是如果数学教育用双重的二分法分别注重横向数学化和纵向数学化来进行分类的话，可以分成如下四种类型，这些教学类型分别对应着彼此不同的哲学观：
       ①缺少横向数学化，也缺乏纵向数学化，是机械主义的教学；
       ②横向数学化得到成长，但纵向数学化不足，是经验主义的教学；
       ③横向数学化不足，但纵向数学化被培养起来，是结构主义的教学；
      ④横向数学化与纵向数学化都得到成长，是现实主义的教学。
       当下我国基础教育数学课程改革倡导的是现实主义的教学，横向数学化与纵向数学化要结伴而行，均衡发展。
  
            数学教育的本质是发展学生的思维。发展学生的思维与数学化是否是同一回事？
      
         我们暂且不去讨论数学教育的本质是否只是关注发展学生的思维。但发展学生的数学思考能力无疑是数学课程的基本目标之一。发展数学思考能力包括抽象思维、形象思维、统计观念、合情推理能力和初步的演绎推理能力等。发展学生的思维与数学化虽然不是同一回事，但可以肯定，学生亲身经历数学化的活动也是发展学生思维的过程和动力。

           数学新课程强调数学教学要遵循学生学习数学的心理规律，什么是学生学习数学的心理规律呢？
          布鲁纳关于儿童智力发展的研究表明，儿童的认知发展需要经历三个发展阶段：动作认知、图形认知和符号认知。这三个发展阶段对应着儿童思维发展的三种水平：操作水平、表象水平和分析水平。我们可以从下面一个例子，看到数学化过程是怎样促进学生思维发展的。

          问题情境（用情境图呈现）：在两个箱子里分别装着9瓶和5瓶牛奶，这两箱一共有几瓶牛奶？
       从这个实际问题能提出一个简单的数学问题吗？
          这个简单的数学问题是：9和5合起来是多少？从而列出算式：9＋5＝？
          要求学生从实际问题剥离出一个简单的数学问题，就是思考、寻找具体问题情境中的抽象结构，建立数学模型的过程。这是横向数学化。在传统数学教学中，不要求学生在列出算式前先把实际问题抽象为一个简单的数学问题（数学模型），是因为意识不到这一中介的重要性。
       接着，放手让学生自主探索：9＋5应该怎么计算？这就是学生自己在进行着纵向的数学化活动。是创造算法化的过程，“算法化意味着将证明留给学生，即使它会在一段时间或永远地隐含在学习过程中”，弗赖登塔尔说，“再创造算法涉及到一个图式化的过程，由他们来探究尽可能适合学习者需要、能力要求和允许范围的标准算法”。
       学生的算法是多样化的，因为他们本来就处在不同的认知发展阶段，他们的认知背景和认知风格也不会相同。
       处在动作认知水平的学生，可能会先数出9根小棒和5根小棒，然后合在一起数，得出结果14。这些学生的思维需要利用实物的图式，他们还摆脱不了数数的具体操作。
      处在图形认知水平的学生，可能会先画出两堆小圆圈，一堆9个一堆5个，然后从5个一堆的圆圈中划出1个小圆圈并到另一堆，变成10个一堆和4个一堆，得出结果14。这些学生利用的是图形的图式，他们已经摆脱了动作，可以借助表象进行思维了。
       处在符号认知水平的学生，他们可以进行抽象的思维了：9＋1＝10，10＋4＝14。这些学生利用的是符号的图式，他们有良好的数感和符号感。
       凡是学习就会产生差异，但差异也会产生学习。因此，要把上述差异当作课堂动态生成的教学资源加以利用，有效的策略是让学生交流、互动起来，将不同算法展示出来，这些差异的碰撞，会促使学生个体的反思。这种反思，会促使认知水平比较低的学生获得感悟：利用图形的图式比小棒图式简便，利用符号的图式又比图形的图式简捷。
       数学化的一个十分重要的方面就是反思自己的活动，从而促使改变看问题的角度，这是学生思维得以持续发展的内因。认知水平比较低的学生虽然不可能创造出超越自己认知水平的算法，但可以通过模仿他人来改变自己的思维方式，掌握更好的算法。维果茨基认为，学习的本质是基于模仿为基础的沟通过程；在学生最近发展区框架内，模仿并不是消极的，它同样具有建构的意义。
         数学知识的生活化在新课程中有相当的地位，也得到了许多教师的认同，可实施一段时间后，我们发现有的数学课不再像数学课 。请问：如何处理生活问题的数学化与数学问题的生活化？
      数学新课程强调要密切数学与现实生活的联系。我不知道是否由此引伸出所谓“数学知识生活化”的说法。什么是数学知识？课程标准明确指出数学知识包括数学事实和数学活动的经验。数学事实具有客观性，是公共知识；而数学活动的经验是因人而异的，是主观的个人化的知识。
       值得我们追问的是，它们是怎样产生的？又是怎样发展的？它们是怎样被人类创造出来，又是怎样被后人掌握的？无论是数学事实还是数学活动经验都是将数学作为人类一种活动的成果。今天，我们学习数学不必重复人类创造数学的历程，但却可以通过数学化的活动去经历和体验数学知识是怎样从生活经验与常识中提炼和升华而来的；去经历和体验数学知识是怎样发展、丰富起来，并逐步得到系统化和合理化的；去经历和体验数学知识是怎样被广泛应用的。
       数学化的对象不是别的，就是学生的生活现实；数学化活动把数学知识发生、发展与应用的各个方面贯通起来；数学化本身已经把密切数学与现实生活的联系涵盖其中。
       我想，了解数学化内涵的人是不会赞成“数学知识生活化”的提法的。因为，纵向的数学化活动是在数学符号世界里进行的，它是通过解决数学知识内部的矛盾或问题来发展数学的过程。指导学生进行数学化活动有两个基本原则：一是在学生当前的现实中选择学习情境，使其适合于横向的数学化。这就是为什么新世纪（版）教材采用如“小熊购物”、“玩具”、“动物园”等情境性的课题名称的原因。二是为纵向的数学化提供手段和工具。纵向发数学化活动也要提供问题情境，只不过它是用数学自身的素材来创设情境的。
     例如，新世纪（版）小学数学三下“找规律”一课，就是从算一算如下三组算式开始的：
5×1            3×2           12×4
5×10           3×20          12×40
50×10          30×20         120×40
      上述算式中，凡是两个乘数都是两位数或三位数的，是学生初次遇到的乘法算式，放手让学生去探索算法，交流各自算法的理由，从而得到如下三组等式：
5×1＝5             3×2 ＝6           12×4＝48
5×10＝50           3×20＝60          12×40＝480
50×10＝500         30×20＝600        120×40＝4800
       这些有序排列的三组等式又构成了纵向数学化活动的一个起点。指导学生有序地观察这些等式，去发现蕴含其中的形式规律，并尝试用语言描述自己所发现的规律。发现这一规律的目的，就是为了运用它能够更快捷地进行整十数与整十数的乘法运算。但为什么这么有用的规律教材又不明确地用文字表述出来呢？这里涉及到数学化的另一个重要的方面，即形式化。
       所谓形式化，是指对语言的整理、修正和转化的过程。形式化的过程也是要让学生经历的，让学生用个性化的语言来描述所发现的规律，开始的描述也许不准确，不完整，不简练，但通过合作交流与个体反思，可以达到澄清思想，修正错误，形成正确的语言描述的目的。
       数学课要上出数学味。选择横向的和纵向的数学化两个标准，来设计和分析数学教学，会帮助教师更好地理解自己教学设计的明确的或含蓄的意图，防止数学教学偏离现实主义的正确道路。
  
         我们使用了师大版的数学，每个课题都联系生活创设情境，联系实际提出问题，一个学期下来，学生会编、会背口诀，却不会运用口诀解决实际问题了。如，一根跳绳3元，24元能买几根？（问题是用情境图呈现的）列式时学生就不知道 是用乘法解决问题呢，还是用除法解决问题。请问：这是为什么？
  
王老师：
       由于对张老师实施教学的过程缺乏了解，所以很难能客观地分析产生上述现象的原因。不过从现象看，学生也许是没有真正弄清楚乘法与除法的意义或结构。
       北师大版的小学数学，是把数与数的四则运算以及“倍”的关系，作为思维对象来处理，而不是作为概念来教学的。许多心理学家和教育学家仍把认知发展看作概念的获得。但弗赖登塔尔不以为然。他说，通过概念获得的学习，这种认识只是一种表面的认识。
“不幸的是，教学概念看起来比纯粹的教学更加尊贵，教学概念好像是创造了可以对所学的是什么增加了更多理解的假象。”在他看来，我们得到对现实的把握的有效途径，是通过结构化而不是概念的形成。他说，“对于大多数人的大多数情况来说，教与学的基本的最终目标是思维对象。我特别喜欢这个术语，因为它可以被外推出另一个术语，描述这些对象是如何地被掌握的，这另一个术语叫做思维操作”。
        通过大量的思维操作去体会和掌握乘法、除法运算的构成。从北师大版小学数学教材乘法与除法起始单元的名称“数一数与乘法”、“分一分与除法”就表明了这样的编写意图。
        其次，可能在解决实际问题的教学中，学生也许没有真正经历和体会其中的数学化过程：
      从“1根跳绳3元，24元能买几根？”这个实际问题中，能提出一个什么简单的数学问题呢？从24中能分出几个3？或者24是3的几倍？
     这两个简单的数学问题都揭示了实际问题中蕴含的数学结构--除法结构，进而列出除法算式：24÷3，至此完成了横向数学化。利用口诀求商，得到数学问题的解8，这是纵向数学化。再回到实际问题的情境，解释和检验这个抽象的解8的实际意义，做出实际问题的答案。这个过程也反映了从具体到一般，再从一般到具体的人类认识真知的辩证的道路。
          我想，作为一名数学老师，应该用“整体”“远视”的眼光关注数学的发展。
      我经常在思考：生活数学化、数学生活化在小学数学教学中具有明显的特征和现实意义，可是，当数学达到高度抽象之时（高中阶段、大学阶段），数学教学是否也具有同样特征？教材呈现形式以及教学的策略等方面与小学阶段又有什么区别？如何为小学生的继续学习打下基础？
       实际上，纵向和横向要和谐发展，但是年级越高，纵向的因素可能更多一点 ，但是也不应该忽视横向的隐私 因素， 横向始终是让我们知道数学的根源来源于现实 ，
       我觉得让孩子们知道数学的来龙去脉，更侧重于横向 但是随着年级的深高，要逐步关注纵向数学化的成长 没有纵向的数学化，数学知识就像一盘散沙，缺乏系统化和合理化，适用性有不强，这是当前课改必须克服的一个倾向 我想，是否在小学阶段着重从横向数学化切入，以此为重点；并逐步引导学生进行纵向数学化，到了高中，更是以纵向数学化为重点。 数学化，就是关注数学本原性的问题，提供适合孩子横向数学化的情景，提供纵向数学化的工具和手段，是两个基本原则 同时，课堂教学需要一个互动的系统 ，鼓励孩子门的创造，不仅是创造解法，还要创造问题，这是很重要创造 要把数学化各部分的内容联系起来，构成一个整体，使得数学化能够持续的进行， 备课应该从全书到单元，从单元到章节，从粗到细，充分地挖掘其中的横向数学化和纵向数学化信息 。实际上，我不太同意数学问题生活化的提伐而生活问题数学化，仅仅是数学的一个方面 是横向的，数学化还有纵向数学化
          到底什么是纵向什么是横向？我还是理解不透。
       布鲁纳关于儿童智力发展的研究表明，儿童的认知发展需要经历三个发展阶段：动作认知、图形认知和符号认知。不仅仅表示不同学生的不同水平吧，不同年级的学生应该会有一种比较主要的认知水平吧。这和皮亚杰的认识发生阶段理论似乎有点相似。我个人觉得符号认知已经是走向了纵向数学化的道路了。
      数学化有横向数学化和纵向数学化之分。在弗赖登塔尔看来，横向数学化“是把生活世界引向符号世界”，而“在符号世界里，符号的生成、重塑和被使用”，则是纵向数学化。
       是否也可以这样理解：横向数学化的产物是生成数学与生活的联系，纵向数学化的产物是生成抽象的数学知识之间的联系。数学建模只是数学化的一个方面，它关注的是横向数学化的因素，并不是数学化的全部。将实际问题抽象成数学模型，这个“模型”是不可缺少的一种中介，用它把复杂的现实来理想化或简单化，从而更易于进行形式的数学处理。  
简单地说，横向数学化就是从生活到数学，纵向数学化就就从数学到数学 ，数学化有横向数学化和纵向数学化之分。在弗赖登塔尔看来，横向数学化“是把生活世界引向符号世界”，而“在符号世界里，符号的生成、重塑和被使用”，则是纵向数学化。