王永:学习弗赖登塔尔数学教育思想心得体会
上传: 涂建良 更新时间：2013-4-27 8:28:22
学习弗赖登塔尔数学教育思想心得体会 王永（录音整理） 老师们，晚上好，利用今天晚上的网络教研时间，我想给老师们汇报一下我这将近八年来学习弗赖登塔尔数学教育思想的一些心得体会。我想这个体会可能对老师们今后的数学教育教研有一定的启迪，我的题目就叫做《作为活动的数学》。
弗赖登塔尔曾经在1997年，大概82岁的时候来到中国做过一次讲学，他讲学结束以后就出了一本书，叫做《数学教育再探》，副标题就是“在中国的讲学”。弗赖登塔尔确实是一个伟大的数学家，是一个伟大的数学教育家。当今世界上数学教育的最高奖就是用他的名字命名的。所以我们对弗赖登塔尔的研究成果应该要给予重视。实际上，我们这次课程改革课程课标实验稿的主持者之一孙晓天教授，他就是到弗赖登塔尔的故乡――荷兰，在弗赖登塔尔数学研究所作访问学者先后三年，所取到的真经回来，他就参与了、领导了跨世纪的中国数学教育改革。作为活动的数学，我觉得我对他的体会应该是今年春节的时候才有一个质的突破，也就是对弗赖登塔尔的数学教育思想，我是从2004年开始读它，但是真正读懂了，我觉得是在今年的春节。所以我今天的报告，可以说是我对八年来对弗赖登塔尔所有的翻译过来的著作的学习的一个汇报。
弗赖登塔尔说有两不同的数学，一种数学是现成的数学，一种数学叫做活动的数学。什么是现成的数学呢？可以说在坐的很多老师，从小学到初中，到师范学校，或者高中、大学，学的都是现成的数学，所谓现成的数学就是一个演绎的体系。什么演绎的体系呢？古希腊的亚里士多德有一句话：任何科学都是从原理出发，并且以这个原理作为基础来导出一切的结论，是用推理的办法导出一切的结论，这就是现成的数学。
那么现成的数学思想就是传统数学教育所要教的数学，所以我们这些人都是从学习现成数学过来的。那弗赖登塔尔认为作为教育的数学，不应该是现成的数学，应该是学生做出来的数学。所以学生做出来的数学就和写在教科书里面或者铭记在头脑里里的数学是不一样，那么做出来的数学实际上就是我们这一轮课程改革倡导的数学。所以我们课程改革初期，经常说做数学、作数学就是这个意思，是活动的数学。在我们课程标准实验稿当中非常明确的写出数学教学实际上就是数学活动的教学，而现在修正稿里面也把两基变成四基，其中第四个基本就是基本的数学活动经验。看来这个数学的“活动的数学”的这样一种理念已经深深的融入到中国数学课程改革中来了。那么，现成的数学应该说，实际上应该这样说，现成的数学是定义和符号，它是从定义开始的，从抽象的符号开始的，并以它为基础，由它导出一切的结果。那么作为现成数学最精英的典范，影响了两千多年的数学教育，那就是古希腊的欧几里得的《几何原本》，实际上欧几里得的《几何原本》它是整理了古埃及啊、巴比伦等等那个时候人们对数学探索的结果，用演绎的方式把它整理出来，所以它是从定义出发，从公式出发，从公理出发，建立了整套的几何理论。那么应该说古希腊人创造了这样一门的欧几里得的《几何原本》，体现古希腊的智慧，这个智慧实际上是非常有价值的。体现了演绎性，体现了公理仳，实际上这个演绎性，公理化不是不要，是需要。所以作为精英数学来说，不能不懂得演绎性，不能不懂得公理化，但是作为教育的数学，它不应该从演绎，不应该从公理出发的。所以这是对现成的数学的一个解释。
那么，现成的数学它基本的教育模式是如何呢，实际上我们如果讲现成的数学的基本的教学模式，我们应该都有体会。甚至我们现在当老师了，很长一段时间也是用原来老师怎么教数学的方式，变成我们今天怎么教我的学生，实际上现成的数学的基本教学模式就是八个字，先学数学，再学应用。就是先数学，先知识，后应用。这实际上在我们这个课标实验稿里面就提到这个问题，这个问题要改变的，要结束的。我们说，先学数学，再学应用，有优点吗？您说现成数学有优点吧，当然优点很多，最重要的两个优点，一个优点就是知识点非常明确，都是黑体字，非常好抓，既然非常好抓，知识点明确，就便于教学，便于训练，便于考试，对不对？而且它是演绎的体系，您从定义符号出发，推导出一系列结论，因此它系统性不言而喻，是非常强的，内在的逻辑是非常强的。所以现成的数学有这样的两个优点，知识点明确，系统性强，便于教学，便于训练，便于考试，大家都皆大喜欢。
那么既然现成的数学这么好了，这么多优点，为什么还要改呢，那是因为现成数学有它致命的缺点，这个致命的缺点就是学习现成的数学只能够复制，不能够创新。你看，现在我们提到了，创新是一个民族的灵魂，你要站在世界的民族之林，你必须要有创新，整个民族要创新。
所以，弗赖登塔尔对于现成数学的批评，他有很多有关的论述，我这里引了他四段话。弗赖登塔尔说，历来数学被当成一门现成的学科来教，把定义法则和算法教给学生，然后要求他们按照这些进行学习，就先把这些告诉给你，你自己去学，就按照这些去学。他又说如果说传统的数学教育涉及到数学的效用，那它根据的模式经常跟教学化颠倒，不是从具体的问题出发，再用数学方法实行研究，而是先学数学，将具体问题作为它的应用，所谓的应用，实际只是常规的一种特殊化，他说也不是真正的应用。接着他说，将数学作为一个现成的产品来教，留给学生活动的唯一的机会就是所谓的应用，其实就是做问题，这不可能包含真正的数学，留作问题的只是一种模仿的数学，他强调我们学习的现成的数学实际上只是一种模仿的数学，不是创造的数学，这是它致命的弱点。所以弗赖登塔尔说过，数学的每次应用都应该是重新的创造，这不可能通过学习现成的数学来培养。这一句话就点到了现成数学的软肋，说现成的数学什么都好，便于考试，便于教学，便于复习，有很强的系统性，便于记忆，然而有一条，他就不能培养人的创造性，这和我们时代的发展和时代的要求是不一致的。
那么作为活动数学的教学有几个基本角色，我把它当作基本角色是为什么呢，因为弗赖登塔尔的这样的一种理论，在荷兰，在他的故乡，在很多西方的国家已经变为现实了，特别是荷兰，荷兰才1000多万人口，但荷兰是世界的数学教育强国，就是因为他出了一个弗赖登塔尔。在他的国家，弗赖登塔尔所编的数学都是活动的数学，从小学、初中、高中都是。但是，在我们的国家，应该说弗赖登塔尔思想传播进来以后，真正的他的思想并没有在我们的党，我们的国家，我们的这块土地上开花结果，还没有变成现实，所以我把他的作为数学活动的数学的这种教学就当作一种基本角色，怎么把这种基本角色变成现实，就要靠我们一代、一代人去努力吧。
他提出的这个假设有四条： 儿童有权像数学家那样做数学 第一条，儿童有权像数学家那样做数学，数学家从来不去做重复别人的工作，数学家做数学是要创造，创造数学。创造数学的过程就是要数学化，就是数学怎么从现实生活中产生的？数学离开了现实生活又怎么取得发展的？这就是数学化的整个过程，化就是过程，数学的来龙去脉，是怎么被创造出来的？是怎么被发展的？特别重要的是，数学一定是来源于现实生活，而数学的发展一定要脱离现实生活才会得到发展的。这是很重要的，等一下还会讲数学化的两种数学化，等一会来讲。
怎么能把教与学统一起来 说数学家他做数学是创造数学化，那么儿童也应该和数学家一样，他有权力来创造数学化，但是儿童毕竟是儿童，他和数学家不一样，他不是成人。因此儿童的这种做数学有个基本的原则，就是有指导的再创造。所谓的有指导就是有老师的指导，他的教学环境有很重要的一个条件，有老师的指导。而数学家没有人去指导他，他自己独立的探索。学生是有老师指导，而且他的创造不是创造人类成人不知道的东西，而是创造人类已经创造出来的东西，所以他这里强调是再创造。可能他创造的东西，成人都知道，老师都知道，但是对儿童来说，它是新的。所以这是儿童的数学化和数学家的数学化的不同之处，而在数学化过程当中，老师的教和学生的学应该在数学的活动中实现统一，今天晚上我也要讲，怎么能够把教和学统一起来。这是第二个假设。
数学学习的过程重要的问题不是连续性 第三个假设，就是数学学习的过程重要的问题不是连续性，这一点啊，我也是应该这两年才悟到的，弗赖登塔尔在著作当中讲到，学习过程的重要问题不是连续性。那为什么我到各个地方，实验区的老师们提出来北师大教材的缺点，有三个缺点：第一个缺点支点少，抓不住；第二个缺点，系统性不强，这是大家明白的；第三个缺点，北师大版的教材跳跃性大。这是到哪一个地方都这样讲，实际上，知识点明确、系统性强、没有跳跃性，这恰恰是现成数学的优点。用现成数学的优点来看北师大版的活动的数学都变成缺点了。的确是这样，老师提的没错，的确是这样，这三个的确是。但是呢，数学活动是做出来的数学，实际上它要求知识点，就结论，要求学生自己做出来；知识的系统要学生自己做出来。弗赖登塔尔说数学化是一种总的方法，要用数学化的方法来组织数学一个概念的一个领域，就是要把他系统化，系统化不是要写到书上的，而是要做出来的，这个当然要求比较高了。第三，跳跃性，弗赖登塔尔在著作里说了，横向数学本身就是跳跃的，从现实的问题中抽象出数学模型，本身在跳，从破土而出，他跳出一个数学符号。同时纵向数学化等一下会说，它也是跳跃的，为什么跳跃？因为就是学习过程是不连续的，因为数学活动它分为较低水平的数学活动，又有较高水平的数学活动，也就是说它的数学活动的思维水平是不同的。较低水平的思维活动可能是的****思维，较高水平的思维活动主要是抽象性提高了，所以应该在较高水平的数学活动中去分析较低的水平的成果，把较低水平的数学活动作为较高水平的数学活动的分析的对象，这种分析对象现在就是反思嘛。我做，我做完以后对自己做过的事情进行反思。通过反省思维，就是反思才能实现水平提高的跳跃。水平提高的跳跃是这个意思，就是学习过程不连续的本质就是它的学生水平提高是需要通过反思来促进你的跳跃，从较低的水平提高到较高的水平。弗赖登塔尔说，活动的数学就是老师领着孩子从较低的水平不断的爬到较高水平，而传统的数学、现在的数学往往是相反，从最高水平不断降到最低的水平。所以我们来体会一下弗赖登塔尔所说的，教学应该提高孩子的水平，而不是要降低。但是你现成的数学是从抽象开始，从抽象到应用，当然是降低水平了，而我们是从应用开始，最低的应用开始，慢慢的抽象提高，这就从较低爬到较高水平。当然有的人不相信，他用途过去我们都是现成数学培养出来的嘛，我的水平也很高啊。那弗赖登塔尔也承认，通过老师的讲授，也能提高学生的水平，但是这种提高不是跳跃，而是拔高，是老师把他拔高，不是自己通过自己的努力来实现水平的跳跃，这是有区别的。而且老师拔高，一部分人被拔高了，但是很多人掉下去了，拔不高，因为他不能适应老师的拔高，所以这个还是很重要。
活动数学的优点 那么第四个假设是什么呢？就是弗赖登塔尔也说了，叫活动数学的优点。他曾经说了三点，三个意思，知识和能力，如果是通过自己的活动获得的话，就比别人强加的要掌握得更好，他说我自己探索了这些知识方法要比老师强加给我更好，而且更有实用性，因为他知道怎么创造出来，从哪里创造出来他说用到哪里去，就更有实用性。第二，发现是一件令人愉快的事情，所以能通过再创造进行学习，是有触动力的，就是说他有学习的内驱力，不是通过外在的奖励、奖赏、分数的奖赏，哦，我很喜欢数学，是他学习的本身就有报偿，他要感受到这种学习的成功感。第三个好处，就是他促进了将数学作为人类活动来体验的观念的形成，数学不是僵死的知识体系，数学是作为为人类创造性活动的一种工具，这种理念的形成。所以我把弗赖登塔尔著作中，关于“作为数学教育，数学活动教育、活动数学的教学”这些基本观点我都把它看成是基本假设，为什么呢？就是要通过我们的实践把这些假设变成现实。这是我们要做的事情。因此，我就把弗赖登塔尔的数学教育的理论框架作了概括，这些概括用了我八年的时间。
弗赖登塔尔的数学教育的思想有三个支柱，一个核心。 我认为弗赖登塔尔的数学教育的思想有三个支柱，一个核心。
一个支柱就是数学化，什么数学化，弗赖登塔尔认为数学化就是数学教育的主要特征，我们要理解什么是数学化，为什么数学化，这是一个支柱。第二个对孩子来说，对数学教学来说，对课堂来说，还是数学化，它有个基本方法，就是有指导的再创造，这是第二个支柱。第三个支柱我觉得非常重要，有指导的再创造是分水平的，所以学习的过程是不连续的，是跳跃的。这是三个很重要的支柱，实际上数学化也好，数学学习过程的跳跃性也好，本来都不是弗赖登塔尔自己发现的，这个数学化横向和竖向分类是另一个数学家发现的，原来开头的时候弗赖登塔尔还非常反感这种分类，但后来弗赖登塔尔就摒弃了自己的成见，就非常赞赏这种横向和纵向式分类，弗赖登塔尔的伟大就在于他能够很快就捕捉到正确的东西，丢弃自己原来错误的东西。所以他数学化是在别人的研究的基础上加以自己的****，好像学习的过程的不连续性是冯·希尔夫妇在几何教学中所发现的。他觉得他引来之后觉得这理论非常重要，而且弗赖登塔尔用自己的思想又对这个理论进行了修饰。所以说弗赖登塔尔的数学思想框架不是他一个人的，我个人认为它是集了很多的数学家研究出来极好的成果。那么，这三个支柱有一个核心，这个核心就是****
现在下面我就想很简单的把这三个支柱和一个核心作一个讲解。因为大家如果去看弗赖登塔尔的原著，如果你们需要的话，我这有电子版，将来电子版可以给大家。但是看的时候要有耐心，要慢慢看，不要急于求成，不要说我一看就懂。实际上弗赖登塔尔的书真是难懂，要前前后后反复看，中国有一句古话就是“读书百遍，其义自见”。我这次读弗赖登塔尔的书的时候真正体会到这一点，因为没人指导我，我只好是前前后后反复的读，前前后后的语句语言不断的对比，比照，才能知道某一种概念的意义，比如说什么叫同式化（21:30）怎么叫算法化等等这些，组织化，结构化。所以大家有耐心去进入到弗赖登塔尔的数学书里的世界，你才能把握弗赖登塔尔的数学思想。
第一个支柱就是数学化
好，先讲数学化，很简单地说，数学化就是数学活动的主要特征。数学，学生有权利来进行数学化，来做数学。实际上，数学化分为两种，一种是横向数学化，一种是纵向数学化。有的著作把横向数学化叫做水平数学化，纵向数学化就是垂直数学化，一样的意思，但用我的观点来理解，横向数学化和纵向有什么区别呢？因为知识啊，美国有一个心理学家叫做威特罗克，他说知识要重视两种生成，要生成知识和生活的联系，要生成知识和知识的联系。因此，我用这样的观点来看，就是横向数学化是什么，横向就是生成数学和生活的联系，就是数学怎么从生活中来的？纵向数学化就是什么，数学脱离了现实背景之后，抽象的数学知识和抽象的数学这间又是怎么联系的？所以横向数学化、纵向数学化实际上就是这两种联系。
好，等一下，我会把弗赖登塔尔横向数学化、纵向数学化它有一个定义，这个定义它比较难懂，我就这样先通俗的来理解，这是两种水平的数学化。那么弗赖登塔尔他对于这两个数学化原来是不太赞同的，但后来变得非常地推崇。因为他发现用这两种数学化对于我们课堂的教学进行分类的话，基本上课堂教学可以分成四类。那么弗赖登塔尔就可以把他的数学思想上升到哲学的高度了。你看，如果我在课堂上看到老师既没有横向数学化，也没有纵向数学化，两个点嘛都没有，既看不到数学怎么从生活中来，也看不到离开了生活这后数学本身怎么发展，那么这样的数学教学又叫做机械主义教学。那么机械主义教学只能是死记硬背了，的确的，从台湾的一个课改的一个很著名的老师，他讲的一个故事说，他发现一个每一次考试都考100分的孩子，但他长大以后又告诉他，我当时考100分都是死记硬背的。所以机械主义教学未必不能产生高分，死记硬背可以得到高分的，这已经有很多事实来证明的，但是他数学的素养的发展什么都没有，是落空的。那么第二类呢，有的老师很善于引导孩子认识数学怎么从生活中来，但是看不到离开了数学之后，数学脱离了现实以后，抽象之后它怎么发展，看到横向数学化，但是看不到老师的纵向数学化，这样的教学就叫做经验主义教学。那么经验主义的教学，大家可能知道，就是得到许多具体的事实性的知识，但是它们是一盘散沙，缺乏系统性。因为它没有进行系统化，没有纵向数学化就没有系统化，没有领域的知识的总结，所以就感觉像一盘散沙。
第一段25--40分【张维国整理】
即缺乏系统性，因为它没有经过什么系统化，没有纵向数学化就没有系统化。没有领域的知识跟总结，就会感到一盘散沙。
那么，第三种，就是有的老师是不善于讲的。数学怎么从生活中来？但是老师非常重视、讲究数学知识和数学语言的联系。课改前我们就处于这种情况。砍了源头，从新的定义上演绎出新的数学。联系很密切。好像没有跳跃性。
那么，这样的数学，远离了学生的经验，这叫做结构中的数学。这种结构主义数学在20世纪60年代，在美国欣起的“新数学”改革运动当中，就是从那种结构主义强加给儿童。所以，最终失败了。结构主义的改革已经失败了。
弗赖登塔尔的数学教育改革设想，可能就是对结构主义数学改革的反思导致的。那么，弗赖登塔尔在比较之后认为：在数学的教学中，既要坚持讲数学是怎么来的，从现实中来的，又要讲数学离开了现实，它本身是怎么发展的。横向数学化和纵向数学化要取得平衡。那么，这样的数学教学叫做现实主义的数学。这样一分析，我们就知道，我们这一轮的课程改革，之所以方向正确。现在的课标的修改，就坚持了这个方向。我们就坚持的是现实主义的数学课程。这种现实主义的数学课程就是要让孩子们知道数学怎么从现实世界中来，脱离了现实世界，它又是怎么发展的。最后，怎么回到为现实服务。
这是一个特别……，所以我当时对弗赖登塔尔的数学思想，第一个对我的吸引，就是这一个——数学化。而且，数学化的横向、纵向居然能把我们的数学进行四个分类。这是要把数学看透了。把数学教育看透了。它和哲学的思想已经联系在一起了。那么，弗赖登塔尔对横向数学化、纵向数学化，他有自己的一个定义。这个定义，如果是横向数学化还好理解，就是把生活世界引向符号世界。怎样把孩子由他的生活世界引入符号世界，这就是横向数学化。建立数学和生活的联系。
纵向数学化就难理解了。在符号世界里面，到了数学世界，都是抽象的，都是符号。那么，符号的生成，在数学世界里又有新的符号生成。符号的意义又有新的赋与。符号是怎么被使用的？而且这些符号的生成，包括重塑、被使用，是机械的，也是符合逻辑的，合乎常规的，不是因人而异的；不是以个人的意志为转移的，不是机动的，而是全面的，彼此呼应的，充满联系的。是大家能够体会到：在数学世界里面的符号，是一个充满了联系的整体。这就是纵向数学化。
体会什么是生成？什么是重塑？怎么被使用？怎么是机械的？全面的？恐怕都要结合具体的实例，才能有进一步的体会。我在这一点，也是学了很久，才感到琢磨到了一些东西。那么，希望学生对什么进行一些数学化呢？弗赖登塔尔说，这可以用一个词来回答，就是现实。数学化的起点，是对现实主义的数学化。哪一种现实呢？他强调，通过他的指导，展开，再通过老师的指导，展开在老师面前的、学生自己的现实。就是说，你的数学化对象，不是成人面前的现实，拿来给学生数学化，而是你要创设情境，是学生熟悉的现实，加以数学化。这一点很重要。当然，我们现在教材编写，是否每个情境都一定符合学生的现实？你们把成人的情境，要求学生来数学化，我看这也有。比如，二年级，叫他去认识火车的什么表，列车的行驶表，可能这就远离了学生的生活经验。这不是学生的现实。所以，弗赖登塔尔要求的是学生的现实。他才能够进行数学化。所以，这个……好。数学化就讲到这儿，等将来讲到具体的、要进行教学设计的时候，再慢慢来。
第二个支柱是 有指导的“再创造”。 有指导的“再创造”。弗赖登塔尔的原话：“新一代接受他们祖先所教的知识，但他们并不是跨到他们老一辈的水平。”就是说，我们这些去继承老一辈的数学知识，但我们并不是站到比他们更高的水平上去，而是要把学生置于更低的水平，在这个更低的水平基础上，重新开始人类的学习过程。尽管是一种修改的方式。老师承担着帮助他们的任务，但不是通过规定，而是引导他们再创造他们应得到的数学。就是说，如果你在很高的水平上确实没办法创造。因此，要把学生置于更低的水平上，来“再创造”。慢慢地引导他来提高水平。就是这个意思。不是像我们以前以为的，先数学，再应用。先数学，再应用那就一下子把学生置到和老一辈一样的水平了。他们学习的研究成果是已经把定义、符号化研究完了。我们从这里开始学，就跨到祖先形成知识的高水平了。我们要置到比那个更低的水平开始学习。我觉得这个指导思想，我们要明确。
到底要创造什么？我们要把孩子置于更低的水平，就是比人类创造的知识更低的水平来开始学习。不是从他们所创造出来的定义、符号开始学习。因为我们要他再创造。他那个是不能再创造。是这个意思。要创造什么？创造包含了内容，又包含了形式。既包含了新的发现，又包含了组织。这句话，我也理解了很久很久。后来，终于有一次，突然间通了。因为，作为语文老师经常知道，思维是语言的内容，语言是思维的形式。语言和思维这一对关系。因此，弗赖登塔尔谈到，既包含了内容，又包含了形式，是什么意思呢？创造数学的内容，实际上就是在创造数学的思维。而创造包含了数学的形式，就是表达数学思维的语言，就是数学语言。这样一来，创造什么？想清楚，创造的就是数学的思维。思维多么重要，思维就是内容。然后，同时也创造表达数学思维的形式——数学语言。既包含新的发现，但又包含了组织，组织是什么？组织实际上是用数学的方法，把获得的许多的数学知识，怎么把它组织起来成为一个系统的领域。这叫组织。组织就是系统化。
所以，你看看，我们说，我们知识量少，我们系统性不强。对吧？但是从弗赖登塔尔的这个教诲，就知道，我们有指导的，实际上，就是能创造，把知识点做出来。就我们现在知道。不是不要知识点。教学必须把知识点做出来。明确出来。这一点我们要搞明确。不要说书上没有、我们没有、教参上也没有。不对。但是，到底怎么表达这个知识点，那也是一种数学形式，也是多样化的，不是唯一的。而写在书上就没办法创造了。所以包括内容、知识点，包括形式，都是创造的对象。而且呢，知识系统性也是创造的。包含了组织，组织创造思维的系统性。所以，创造照这样的理解，那么是学习过程的若干步骤。这些步骤的重要性在于，再创造的“再”，设计教学过程的环境就是形容词——有指导的所指的。所以，这样的“再创造”，有指导就是要求有指导。
我觉得弗赖登塔尔有一个观点特别重要。就是他找到了老师和学生的这一对矛盾。教与学的关系有一句话：
“指导再创造意味着在创造的自由性和指导的约束性之间，以及在学生取得自己的乐趣和满足教师的要求之间达到一种微妙的平衡”。
指导再创造意味着在创造的自由性和指导的约束性之间，这一对矛盾嘛，创造有自由，但是指导有约束。你要听老师的指导。创造的自由性和指导的约束之间，这是一对矛盾，不能放任自流，要有指导啊。有的人说数学活动很浪费时间。我觉得是没有指导啊，放任自流就花费很多时间而没得到成果。这里的自由性和约束性是一对矛盾。以及在学生取得自己的乐趣（创造有自己的乐趣），和满足教师的教学要求之间达到一种应有的平衡。
我想，在“再创造”的教学中要特别处理好，教与学怎么统一的问题。这实际上讲的是教与学的教学活动怎么得到统一的问题。好，往哪里指导呢？这里，特别要讲弗赖登塔尔的这句话。因为这句话也花了我很多很多时间。因为这里涉及到很多弗赖登塔尔的术语。当然，我们老师不一定要一开始就钻到术语当中去，但是要知道一下，将来读他的书，读到这里的时候，你就有体会。既然我强调，数学是一种活动，所以，我就往哪儿指导。这个问题的回答是——到一种活动中去。你看，他不是到书本中去。是到一种活动中去。换句话，学生应该再创造数学化，而不是数学。他要创造数学怎么发现这个过程，而不是创造数学那些知识？这就是抽象化，而不是抽象。你要创造抽象化的这个过程。抽象不是学生创造的。抽象化他可以创造，图式化，实际上图式化是一种表征知识的一种过程、简化的过程，而不是创造图式。表征数学知识的结构慢慢简化。这是形式化而不是形式。语言怎么描述知识的形式的问题。这是形式化而不是形式，算法化而不是算法，用语言描述而不是语言。弗赖登塔尔说到这里，就打住了。意思是，我已经讲得很清楚了。但是后面一句话，我没有写出来，实际上，他讲得很清楚，我理解起来很困难，真的是很困难。但是现在，读了这么多年的书。慢慢地就把这些概念搞清楚了。但是不是搞得很清楚，我也很怀疑自己。我觉得真是要学到老，要理解到老。是不是做到真正理解了，我看得靠实践来检验。实际上，我这句话提出来，想强调什么？是想强调活动的重要性。你指导干嘛？到活动中去指导。不是在读书中、字词句里面去指导。
第三个支柱，学习的不连续性。 为什么学习是不连续的呢？“再创造”活动是有相应的各种水平。这是学习的过程，不连续的决定因素，也就是说，“再创造”有各种水平，有直观水平，有抽象水平。比如说，弗赖登塔尔说，义务教育阶段至少有三个水平，直观的运算、算法的运算、代数的运算。因此，再创造就有是不连续的，是吧？你不可能，一步由直观的运算到算法的运算，也不可能由直观的运算一下子跳到代数的运算。它是不连续的过程，不提高的过程。是吧？学习过程的阶段从一个水平到下一个水平，那这里都是从较低的水平，到较高的水平。这是与教学有关的。教学就要处理怎么把孩子从较低的水平引导到较高水平。在进入较高水平的活动的时候呢，较低水平的活动就要成为较高水平的活动的分析对象。这个前面也说了。换句话说，在较高水平中，对人们较低水平的活动进行反思。等一下会说。这个非常重要，这句话。我特别点出来，等一会儿还会涉及到。为什么这句话非常重要？就是说，通过反思，学生才能实现提高的跳跃。弗赖登塔尔说，反思是连接的纽带。没有反思就没有提高、没有跳跃。至于学习者通过反思实现学习的提高，是学习过程跳跃性的本质。这种跳跃性没有反思过程的拔高。没有反思就是拔高，有反思就是跳跃。我觉得这个理论对我来说，现在我在搞这个教学设计，我觉得这个太重要了！我就是因为搞通了这一条以后，我才知道怎么去设计有指导的再创造。如果没有把这个学习过程的不连续性搞通，我就不知道怎么设计。真的！所以，应该说，也是坚持八年抗战，最后第八年才知道学习的不连续性这一条是多么重要！
反思是弗赖登塔尔教育理论的核心 好，反思的重要性。弗赖登塔尔把反思看作是前面三个支柱的核心。数学化、有指导而再创造、学习过程的不连续性。它都是围绕着一个反思，反思是这个理论的核心。
弗赖登塔尔说过四句话，这四句话原话都是弗赖登塔尔说的。
第一数学化一个十分重要的方面就是反思自己的活动。反思是对自己活动的反思，不是反思别人的而是反思自己的。不是活动之前反思，那叫思考，那叫谋划。反思是对活动之后的对活动的思考，这叫反思。
第二，反思是数学创造的强有力的动力。
第三反思是连接两个水平之间的纽带。是不是和水平的阶段性，和再创造性有关？还有反思是维持数学思维的特征。谋划不是数学思维的特征，反思是。就是我做过什么事情回过头来，回顾它，反思它。这是数学思维的特征。我们创造数学的思维，实际就是创造反思性思维。这是我的理解。
第四，如果反思思维真的是数学创造强有力的动力的话，那么很自然的使其在根据再创造学习原理教育实际中很好的发挥作用，这个再创造，是有指导的再创造。也就是说指导应该激发反思思维。反思思维在弗赖登塔尔来说太重要了。活动，弗赖登塔尔书上引了夸美纽斯就是第一个大教学论的大教育家捷克人他教育活动中的最好的方法是演示。弗赖登塔尔定义了一下说了一句话就是学习活动的最好的方法是做，是做数学。他强调做。前面呢我的理论框架用了四十五分钟。
那我下面快一点吧。留些时间来讨论。数学活动总得有结构吧，所以有数学活动的教学，数学思维活动，数学思维结构是什么呢？我还是用一节课大体上我现在目前觉得活动，三个活动。活动一，活动二，活动三。为什么？因为我们的教学目标，学习目标每一节课都是有限的。这有限的目标有2、3个吧。因此我的数学活动应该是为落实教学目标而设计的。所以数学活动的目标也是有限的。那么对于每一个数学活动，我们要想明白三个问题，这就是活动的基本结构。每一个活动，从第一个环节什么呢？你要学生做什么，可能解决一个问题，可能计算什么问题，可能情境中完成一个什么任务。做什么很明确，怎么做？是独立做还是小组合作做。做什么？第二做完之后你让孩子想什么？对自己做过的事想什么，这就是反思啊。不是做过之前就想很多，那个没用。我们过去解决一个问题，还没让孩子自己思考，老师就启发他该怎么想，怎么想，怎么想。这都没用，而是让他去想，去做，这个题目就由你去做，有些孩子做出来，有些孩子还没做出来。但是不管怎么样，在孩子交流的过程中，如果没做出来的孩子也在进一步的学。老师就根据这种情况引导他思考，怎么做。无意识的做变成有意识的做。无序的做变成有序的做。反思，那么做什么想什么，都伴随着学生的展示，学生的交流，学生的质疑和学生的讨论。这是免不了的。根据课堂的记录，那么学生怎么交流，学生怎么反馈。怎么展示。这些老师都没法预设。但是做什么想什么和讲什么是可以预设的。学生在课堂上会怎么表现是无法预设的。因此，和课堂的真实结合起来，那你要对自己讲什么要做一个修正。讲什么是可以预设的。所以这三个结构要设计的第一个结构，那么你看看，我左边的 是什么？数学活动一很重要，数学活动一要做什么特别重要，数学活动一他第一个让孩子做什么应该是学生兴趣发展区的问题。就是你班现在所有孩子都会做，这样才会使你的教学公平，每个孩子站在自己可以做的这个水平起点上再提高。很重要。这叫做第一个做应该是学生兴趣发展水平。那么第三个做呢？活动三那就是学生潜在的发展水平。而兴趣发展水平和潜在发展水平的落差就是未果之际的最近发展。那么实际上数学活动的教学，实际上就是要求什么？在孩子最近发展期内能够得到充分的发展。我这个框架就这个。我们的教学的实现学生的发展教学与发展，有意义的进入未果之际的兴趣发展区理论。你看数学活动的设计，实际上就是要在兴趣发展框架内充当已有的水平。提高到潜在的可以达到的水平。这就是我们数学活动的基本结构。现在我举可能一两个例子。这是我们北师大版非常有特色的，分桃子除法的起始课。你看活动一很简单。用圆片代替桃子，分成两堆。说说你是怎么分的。8个桃子分给2只猴子，每只猴子可能吃几个啊？这就是现在的要求是要集体来做呢还是个人来做。实际上这样问题应该个人来做。为什么呢？太熟悉这个题了，8个的组成问题，加法减法不是学过了吗？所以他自己可以做。做完一汇报，结果有几种可能。老师帮他记录下来。好这就是第一个活动做什么做出来了。接着让孩子想什么？基于这样的结果让孩子想什么？要预设。想什么？如果把上面的几种分法分成两类的话。会怎么分？让学生讨论的时候关注什么？这样的分类以两只猴子是否分的一样多为标准来分，那么分成了两类。四个为一类，其他为一类。这就是让他逐渐创造数学思维。内容呢？好第三个要讲什么？就告诉孩子，把分到同样多的分法简称为平均分或者等分都可以，你直接告诉他。这就是做什么。想什么。讲什么。这个想什么实际上有数学内涵的是分类。我们一般的听了这节课的老师说：“你喜欢哪种分类啊？”分得平均的，有的说猴子哥猴子弟，弟弟让哥哥，哥哥让弟弟。都是没有数学味道的。是吧。所以这个不用让孩子讲，但是我们老师要知道哪里要提什么问题。这是每一个人都可以做的。现在第二个提高在哪里呢？小鱼，每只猫分得的同样多，我现在认为同样多就是平均分。那么每只小猫能分到几条鱼？要让孩子用小棒代替鱼分一分，并说一说分的过程。实际上这种活动可以小组合作。一组四个人，扮演四只小猫，然后试着用小棒分一分。可以小组合作的。我就看的这节课，一个老师就观察了一下孩子，就选了3个孩子来汇报。你看第一个孩子汇报说，我每次分三条鱼，一次就把它们分完。第二个人就说，我和他分的不一样，我第一次只分两条鱼，后来第二次才分一条鱼，也分完了。第三个孩子说我每次都分一条鱼，分三次把鱼分完。那么这三种分法还有在交流过程中都知道，方法不同但是分的结果都相同，每只猫分到三条鱼。这是学生做的。好现在做了，汇报想什么，有的时候老师会去追问，你为什么知道每次分三条鱼，一次分完呢？学生说我学过口诀。这当然很好，但这对于这节来说，这不是其他的要求的。所以我觉得我们要选择。我认为，这个想什么想什么呢？你能把上述第三种分法用画图的方法表示出来吗？你能不能？刚才我们用的是动作来分么，现在你能不能画图的方法告诉我？把你第三种的方法用画图的方法画出来呢？实际上对学生来讲是有困难的。尝试一下，尝试一下老师要讲什么？他交流要怎么画，老师要讲什么？老师要讲第三种分法的意义。你看，可以启发他，每次分一条鱼，那么分了一次以后分掉了几条鱼啊？哦，分掉了4条，那就把分掉的4条圈起来吧。看你这样能画几圈，学生画成圈，所以老师就讲。你看，一次分四条鱼，第二次也分四条鱼。第三次也分四条，就确认三圈。这三圈是什么意思？每只小猫都从这三圈里面得到一条鱼。所以每只小猫就分到三条鱼。这个图就表达了这是一种思维的形式吧，这是数学语言嘛，刚才是数学内容嘛，现在是数学语言所以弗赖登塔尔说，创造经常从数学的内容转化到数学语言。一种数学语言转化到数学内容。这转变观点啊，就是这样。再创造不断的从内容到语言，从语言到内容。从内容到形式，从形式到内容。就这样不断的转化。这是第二个。是从动作的认知发展到图形的认知。这是不是水平提高了？第三，狗分骨头。这个时候，我就不是要小棒了，我的要求就是直接在图上画图解答这个问题。你看我要求他图上作业，水平就提高了吧？因为你前面已经试过图上作业了，那学生可能就会这样做了。汇报。每只是六根。那就这样做了。现在要孩子想什么？要是我，我就想同学们你们学过的方法来表示上述分的过程和结果吗？这就要求他什么？想到减法。怎么算合适呢？小组可以商量，可以上台来写。这样老师讲解18减3减3减3.。。。。减了六次3得0，18包含6个3，所以每只小狗分到六根。你看看如果这样的去想，是不是从活动一到活动三，把学生从动作认知的水平到图形认知到符号认知。在水平上是提高的，所以你看数学活动一分桃子，数学活动二分鱼，数学活动三分骨头，他的思维水平，活动认知，他的思维水平和操作水平。数学活动分桃子，他的活动人只是表象水平。数学活动三分骨头，他是符号认知达到分的水平。当然，如果这节课学生达不到第三个水平，我可以放到下节课来做。我发现，我们的作业都是画图，都是认知水平，可是我们正文都没有要求这个东西。你看我们这节课的作业都是画图啊。圈一圈啊，但是前面都没有。这是有问题的，你要求你在前面的解决问题中没有培养他的这种画图能力，没有到这种认知水平，为什么在练习中有呢？当然减法的思维就是符号认知用减法，时间上应该适当的出现，不应该在后面出现，我们看在太后面出现，不应该在除法运算之前，为什么？因为减法是重复的加法，相应的除法只是重复的减法，应该把他利用起来，所以我们教材没有介绍。重复的减法，虽然在第二节课，第三节课，在没有引用符号之前这四节课，我们总要找机会把这个弄下去。要使得这思维是跳跃的，你看这思维是跳跃的不是连续的，你看没有老师知道他无法实现这个跳跃，没有反思，如何实现这种跳跃，这是我举得第一个例子。第二个例子我讲啊。因为我这里还有好几个例子，大家可以自己看。我也很喜欢讲搭配中的学问。搭配中的学问我想我就不用原来中的那个引例了。我就用穿衣服，很多老师都讲过这个穿衣服。就这个情景，用A,B代表两件上装，用1、2、3代表三件下装，那么好，要配套，配成一套衣服，那么上装和下装的搭配一共有多少种不同的搭配方法呢？请你用这符号写出。这就让孩子在表达内容当中简一点，这是数学的思想，用符号表示。学生可能汇报交流，我就看到这节课，老师恰恰好啊巡视完之后叫三个同学代表发言。一个是有遗漏的，一个是重复的，一个是正确的。然后针对学生的这种交流，通过讨论分析出，这个对。那个错。这些孩子都能分清楚的。因此在这个基础上，反思什么?反思就反思，怎么搭配才能做到不重不漏，究竟马上就提出这个问题了。学生马上就说我先看A先用A，先用B来等等，学生会用自己的语言来说，怎么分做的不重不漏，这是学生会的，但他不一定用数学语言。
第一段55----结束【李敏整理】
老师的讲解，先用A来搭配下装有三种，再用B来搭配下装也有三种，一共有六种不同的方法，这是学生的语言，老师就要说了，分类搭配能确保不重不漏，分类思想在这里起到了重要的作用，这个老师要提到的，让学生讲分类学生讲不出来，每一种分类搭配方法中我以上装是否是A的标准来分类，就A一类，B一类，没有重复，没有遗漏，这个东西确实是老师要在学生的反思基础上来解决办法，他有他的语言，在这个基础上我们讲他就很明白了，这就是分类，这就是标准了，孩子就会不断地领悟了。你看，老师在这里画图，把这个画图并起来，交叉对应，把搭配的本质在这里显示一下，原来就是一对三，一对三。
图形2实际上是一种变式，完全和那个不一样，是一种道路，从学校到经过少年宫到动物园，一共有几条路可走，道路就分成两个区间不同的道路，一个有两条，一个有三条，让孩子画交叉对应的图表示从学校到动物园的所有的路线，让孩子画出来，这里有ABCDE符号来代表。在上面划交叉图，学生的作品可以这样画，也可以这样画，通过A，然后第二条少年宫到动物园有三种选择，走B然后还有三种选择，一共有六条交叉，这是学生的作品。那么反思什么呢？这个又是和刚才一样的，只不过题目不一样，情景不一样，但它的本质一样的，交叉对应的。反思通过上面两个生活中的搭配你能概括一下什么是搭配吗？这就是概念的概括，弗赖登塔尔说不是概念的举例，概括是一种抽象。我们经常说搭配、搭配，真的从数学来说搭配是怎么回事？没有讲，生活中的搭配有，数学中的搭配不懂，这正是要帮助他们从生活中世界走到数学世界，你概括一下什么是搭配，我觉得这个反思就提高了，站在更高的抽象的层次去看刚才生活中的搭配，可能是有困难的，没问题，让他想啊，想不出来，想完以后如果他讲不出来的话，就是希望老师给讲一讲，这叫做不愤不启，不悱不发，这是我们古代的启发式原则，你都不让孩子讲，你就在叽里呱啦地讲，孩子就觉得不珍惜。好，应该这样讲，从两种不同的实物中各取一种来组成我们需要的事物。什么是搭配，搭配就是从两种不种不同的实物中各取一种来组成我们需要的事物，这种方法就是搭配。这个定义已经超越了刚才道路的搭配、衣服的搭配，从两种不同的事物中各取一种事物，各取一种组成我们所需要的事物的方法就是搭配，搭配的本质就是两种事物间的交叉对应。搭配你看，我把交叉又变成矩形模式，又把它写成矩形，我们没有说出搭配有几种，没有，搭配把它转换成矩形，实际上弗赖登塔尔说过什么啊，搭配也是构造对偶级矩形模式的活动，矩形模式是乘法的现实意义，我刚才为什么要把交叉对应变换成矩形模式，是从不同的事情当中，各取一种事物来构成一个所需事物的一种方法，实际上搭配更抽象的说也是一种构造对偶级，对不同的级各取一种元素构成一个矩形集合，这种矩形模式就是乘法的现实意义，所以搭配是乘法的现实背景，用不着说他有多少种方法来算，而是头脑中有一个矩形模式。而且长方形的面积公式都是从这方面引导而来的。如果集合M有M种元素，集合N有N种元素，那么由他们来构造对偶级会有M*N个集合，这就不要记公式了、而且要不要抽象成这个字母表示，也不要。这么抽象的，这是高中的，但是对我们老师来说可以讲讲的，实际上也不要讲什么对偶级，就刚才从不同的事物当中各取一个，构成所需事物的方法就够了，对小孩子来说就够了，然后你看这种所需的事物可以排成矩形的模式，这就是乘法。完了，用不着这么抽象。但我这里讲背景的时候，弗赖登塔尔特别强调的算术的应用，搭配是算术当中很重要的应用，他举了很多这样的应用。
现在我总结一下，有指导的再创造教学设计、加上环节、内容和意义和时间分配。刚才说的主要讲的是数学活动，但是我想整个课的结构，第一个应该是引入环节，引入环节就是回顾和展望，就是把怎么把新旧知识联系起来，就是靠回顾和展望，就是2分钟，不能超过2分钟。我们现在很多引入的时间都太长了，你要设计，两分钟要把你想要做的事情做完，因为这还不是重点，这只是把今天学的与过去学的联系起来，提供学习的背景，激发孩子的兴趣和集中孩子的注意力等等。数学活动我觉得有一个到三个，不能太多，一节课有40分钟，三个数学活动我现在试了一下，基本上20分钟可以解决，你要设计在20分钟怎么解决，每一个活动做什么？讲什么？还包括展示交流、自己讨论。然后课堂练习10分钟，我这里的课堂练习实际上是在10分钟时间之内完成课外作业，还不是一般的课堂练习，原来布置在课外做的在课堂做，这10分钟时间老师是不能够讲的，不能打断学生的思维的，是不能够讲评的，但老师要做的只能巡视、只能个别辅导、帮助差生。好的学生10分钟就已经完成作业了，大大减轻解放课后，我觉得的这个是我现在看的课，课堂中经常被老师利用起来讲课。回顾小结，这个小结也是老师的任务，不是学生的，形式主义的小结。时间分配大体上是这样的分配。回顾展望是什么呢？沟通新旧知识的联系，把学过的各部分联系起来，为学习提供新的机会，明确新课的内容和要求，这是两分钟时间要做的。数学活动要去做什么？第一个数学活动是本课学习的起点，必须从学生发展区及框架内的，是所有学生都能做到的，他们都站在这个起点上做，他们都站在同一个起跑线上去做，这就体现了教学的公平性；如果你的第一个活动有的人会做有的人不会做，在起点上不一样，所以人人都要学习有价值的数学，要学习不同的数学，后面走多远，不同的人可能是不一样的，但是你第一个要保证都会。本课设计各个活动都要有直接的内在逻辑联系，在数学活动和数学活动之间，这有方式连接的，活动、反思、讲解，是一种连接。反思要求学生想什么？第一反思要得到新的知识，第二反思要有新的探索。反思要让孩子想什么，想什么必须有一个知识点做出来，反思做什么，会引出更高的探索，就这两个，反思就要达到这种目的。先让做什么、想什么以后，一般都要有反思交流，讨论，并了解课堂的预设和生成是否一致，以便及时调整教学预案，这是讲解，分析难点，把握关键，解释本质，实现学习目标，这是原来我们由开放到讲解，把它收回来，开放的过程要收，这样才能保证质量，才能保证学生达到要求，你光开放不收，从无序到有序，从开放变封闭，这一过程才是教学要处理的矛盾。课堂练习，是学生独立作业的时间，老师了解学生的机会，不是老师讲解的时间，好那一堂课如果没有学生一段时间安静的练习，也就是说如果一堂课我没有听到孩子的铅笔在纸上沙沙沙的声音，我会对这节课的质量会令人感到不安的，我觉得我们一定要提高课堂的效率，要从老师的多讲中分出来，老师的讲课要压到最少，把时间腾出来，不是说我们延长课时，这样才能解放学生的课外。回顾小节，我觉得是老师的责任，因为现在的小结老师都是把球踢给学生，你今天听了一堂课，你有什么收获，形式主义的，这个孩子说一点，那个孩子说一点，不是系统的，也不一定都说到教学的要求，但是回顾与小节，是把整节课进行回顾以后，主要是为这堂课画龙点睛，给孩子留下朗朗的印象，给孩子留下朗朗的思考，给孩子留下无穷的回味，应该是老师应该做到的，也就是说要为学生检查他是否达到、他很愉快，幸福，但他达到了老师的要求了没有，这是老师的责任，实际上小结做的好不好，老师会不会对这堂课画龙点睛体现了老师的数学素养和数学水平的，现在的形式主义太严重了，就是这个小结反思给孩子做，很没有用。每个教学环节都要分配好，必须有时间观念，有效益观念。我原来不太重视时间的分配，结果我试了以后，很多老师没有时间观念，引入环节从2分钟到7分钟，把录像一看，废话太多，所以必须要有有效的时间观念。第二不要赶进度，在确保教学活动有效地进行地前提下，上不完没有关系，下一节课继续上，但是练习还是要保证的，这是以学生为主体的教学模式不可避免的现象，如果我们能够以从引入到最后的小节都能够按照完成的话，那是以老师为中心的课堂去做的，但是以学生为中心的课堂，常常会出现意外的事情，做不到这一点的，这没有关系，换到下一节课去做，课是连续的，只要有效，就不会浪费时间，不要去赶进度，尊重这种现象存在的合理性和必然性，课上不完是正常的，但是要经的起推敲，是不是有效，不浪费时间，那上不完是正常的，除非你是无效的，拖泥带水的，那另当别论，这我觉得是在有效的前提下。好，教学设计要有这么两个设计大家可以看一看，其实我做了很多的教学设计，十月份《小学教师》登了我一份鸡兔同笼的教学设计，基本上是用活动的结构来写的，也是做什么讲什么，我这里没有办法打开文件，大家可以上网去查一下。
我为什么要做这个讲座？因为我这几年都在做教学的案例，教学案例也没有做到非常好，这和我指导不利有关系，但是我后来想没有很好的设计案例，你看我们现在有名师在全国空中飞行，到处讲课，他们的课就是有一个创意，设计好的创意，我相信我们很多老师在驾驭课堂的能力和学生的互动方面的能力都不比那些老师差，但是在数学素养、背后的数学设计缺少创意，所以我觉得搞数学设计要有理念，有了好理念就有好课堂，有好设计好理念就有了好课堂，而且最近我又想了一些问题，我们对小学老师和小学老师的态度不公平，要求太高了，比如说我们老师的庄严报，你看艺术界就分作曲家、作词家、歌唱家，建筑工程界都有设计师好工程师，但是我们老师既要将设计又要去实施，也就是既要作词又要讲课，对老师要求太高了，因此我为什么要讲这个问题，我希望一部分老师他搞设计，同时一批老师来做好的教学设计来供另外一批老师来用，那其他老师能集中精力用好这个教学设计，并且在别人设计的基础上来进一步创新，这样就能把老师的时间节省下来，可能更能符合新课程理念，达到更高的要求。我为什么讲，因为当我今年弄明白了弗赖登塔尔整个数学活动的整个原理的时候，我真的很想把北师大版的这样好的数学课程，变成一种可操作化的案例和设计，这就不是依靠少数人了，这就需要一批的老师来做，而且做完了以后要供给更多的老师来用，使老师不要那么累的来做设计，用更多的时间来了解学生，来实施和修改这些设计，这是我做这个讲座的一个初衷，现在我讲座已经结束了，请老师们提问题来讨论，谢谢大家！
第二段9分【陈春艳整理】
要孩子反思啦，半个苹果。“那么，你能画图表示一半吗？”那孩子要去做了。画图，画图去做。那么，交流展示学生作品。来讨论。这里我把图都删掉了，实际上，画图就是你可以画一个圆，然后平均分，把一半图阴影。或者长方形，正方形，线段都可以。但是学生画的图我看过有的真能表示一半，有的不能表示一半。因为画得不准确吧，所以展示学生的作品，共同来讨论一下，哪些作品真的可以表示一半。哪些作品是不能表示一半，让孩子来辨析讨论。讨论完以后呢，就接着反思，为什么这些可以表示一半，那些不能表示一半。能表示一半的图形有什么共同特点。这就是抽象概括了。因为孩子画的那个展示作品是有的对有的错啊。他两边画的不一样大，就不能表示一半啊。两边画的一样大就可以表示一半啊。那能表示一半的图形到底有一个什么样的共同特点？这是数学概括、抽象。平均分，分两份，其中的一份就是一半，老师讲解就说三个共同点：1、平均分，2、分两份，3、取一份。这就是共同点。这是第二个反思，对吧。没反思完，接着还有第三个反思——数学活动。“你能创造一个符号表示一半吗？”这个符号必须包含三层意思：平均分、分两份、取一份。这三个共同点是通过画图得到的。他现在让你创造一个符号，用这个符号来表示这三层意思。这孩子就有一个想法了。我也看到孩子画了很多。比如说：1÷2当然也可以啊。除就是平均分。2就是分两份。1是取一分。有的是1/2。有的是2下面横线下面放一个1，这些都是他们个性化的表现，都是有意义的。他只要说我有三个，这个在人类历史上，英国1P2，p就是平均分，英文字母的第一个字，2就是分两份，取一份。这三个符号有三层意思。构成一个“半个”的意思。所以，展示学生作品，这叫个性表征。那么反思：哪些符号可以表示一半？哪些不行,为什么？实际上就是你的符号里有三层意思。那么有三层意思就肯定了。没有三层意思:”你这里没有平均分意思啊” “你这里没有分两份啊”，“你这里没取一个啊”等比如这样就不行了。就这样进一步强调表示一半的符号的三层意思：平均分，分两份，取一份。讲解：凡是表示平均分，分两份，取一份意思的符号来表示一半都具有合理性，都可以，对创造者个人来说都是有意义的，但是彼此沟通却很困难。比创造力理解，他创造他理解，但沟通起来就很困难。因此，漫长的历史为我们选择了一个通用的表示一半的符号就是二分之一。第一个符号是怎么创造出来的？不是天上掉下来，不是人为强加的，而是通过这样的一种探索出来的。而这样的探索我们人类经过了多少年我们不是一节课就把它弄出来的。
二分之一是我们第一次通过分得到的分数。学生突破了这个难点之后，也要他拿一张长方形的纸，折一折，涂一涂，创造一份新的分数，并写出这个分数。我看到学生都会做了。折一折，涂一涂可以展示很多学生创造的图形。那现在反思什么？我就发现有个孩子用这个图形表示四分之一。长方形，对角线，然后涂色的部分表示长方形的四分之一。这个就奇怪了。下面的图形是表示长方形的四分之一吗？这是平均分吗？这四个图形都不一样，三角形都不一样啊？我听过这节课，一个女孩子坐那里举手：“老师，他它们是一样大，你把它们三角形都分两个直角三角形，它们就一样大。”你看孩子的空间想象还是很强的。证明了它们形状不同的两个三角形它的面积是一样大的 。所以，可以表示四分之一。老师讲什么？老师要讲平均分的本质意义。平均分指的是大小平均分，不要求形状完全相同。这是很重要的。我们经常平均分是把形状，大小都一样才叫平均分，实际上这是一个误区。这就是我第一节课《分数的初步认识》让孩子知道的这些东西的过程。
大家以后来做的时候，在讨论的过程中老师们也会有自己的创造。只要把理念搞清楚，我很期待大家共同来参与的话，在不久的将来，我们想把主要的课都能系列化的设计。把它变成可操作的优秀的教学设计来为我们北师大版的理念传播作出我们应有的贡献。
老师们看看还有什么问题？
答疑一：形成符合认知，这个符号认知以后就不要再反思了。你反思还要再提高那提高是没有止境的，是吧。当然，符号反思接着反思下去一定还有的，我们一定要根据我们小学阶段的我们的学习任务和教学目标来确定我们的反思，达到了就不要再反思了，反思就意味着还要提高嘛。所以这个东西要适可而止。不能无止境。
答疑二：实际上数学活动是要有指导的，有设计的。在课堂上是非常的精简的，在课堂学生有充分的动手，思考。但是它不会浪费时间。在我和一些老师所共同做的课中，我就觉得这是一个基本的要求。不会像过去那样好像一放开就刹不住了。因为刹不住基本是没设计刹不住。要有预想、有设计一般不会刹不住的。这是我的想法。我现在看到的许多设计有两个要解决的。一个就是我们把教案设计成师生的对话，这不是设计。在这种设计中设计老师说什么学生说什么。不要这样设计。因为老师说什么，学生说什么都是不能预设总结的。学生说什么更不能预设。老师说什么也用不着预设。因为他在临场就应该会调节。他不是教案局。这是一个很重要，第二个就是我们的教学不能流于形式。一个环节里面任何的预设都没有，只是告诉我第一步去做什么，第二步去做什么。比如说我第一步做什么第二步做什么是个流程。探求新知，然后没有对做什么，想什么，讲什么的内容做一个比较具体的预设，那么这样的教案实际上是无从反思。我都不知道我原来是什么，怎么能知道我原来的预设能不能实现呢？这是无法反思的。所以这样预设完我们过一段时间来讲怎么做教学案例。案例反思必须根据你的设计，设计具体要设计到什么情况，这也是一个“度”要掌握。所以我这里有两个要设计，一个是长方形的，大家可以看我的刚刚在《小学教学》刚刚出来的《鸡兔同笼》的教学设计就是用的这个模板。还有，我这里虽然设计出很多了，但是我提供设计背景的设计还不多。就是有的备为什么这么设计，有个背景理念。我从一年级到三年级做了很多设计。通过这样的设计我在思考很多教材的问题，后来就中断了。现在希望大家一起来继续，来做。
第三段21分【卓敬敏整理】
王：是否每节数学课都要设计成数学活动课？我个人认为：新课不是现成的数学，只要不是把结论直接告诉孩子，你有知识要学，我想这样的课，都应该是活动课，但大家要注意到，活动有活动的结构，如果我们按照我们活动的数学来上课，不久，学生就能体会到数学活动课上课的结构。他就会把它内化成为自己的学习方式，所以后面的课会越来越快，不会越来越慢，这是一个方面，而且我认为数学活动课和杜郎口和阜新现在做的先学后教。我认为杜郎口的教学模式，我把它评价为它是学习方式转变了，但它还是学现成的数学，就是它数学观念没变，而是学习方式转变了，那么在学习现成的数学来说，杜郎口的效果最好，但不意味着它就走到顶了，因为它所学的数学不是创造性的，它还是学现成的数学，也可以说我们福建省原来做指导中学习，那是在课程改革之前做的，当时教材就是现成的数学，所以我们做那个实验也是从现成的教材来做的，但是改变了学习方式，先学后教之后呢，效果很好。现在活动的数学，它实际上也体现了先学后教，做什么，想什么，学生做基本的数学活动，讲什么是老师教，所以数学活动的基本模式也是先学后教，先做后说这样的一个结构，所以它改变了教与学的这种关系，它是有效的，而且先学后教它用不着预习。这个数学活动不需要预习，一切都可以在课堂上进行。不要预习，解放学生的预习思想。而且这种教学，用不着什么小学三年级开始，一年级就可以开始了，它没有联动的限制，所以说活动的数学的前景是非常可观的，如果按照杜郎口的模式，大家都说那小学四年级开始做，因为那时候他才会探索吗，实际上孩子越小，他都会在老师的要求下，他都知道做什么，也会知道想什么，他都会创造出什么东西来。所以我是觉得活动的数学不是说哪些课要，哪些课不要的，我们说先学后教，哪些课适合先学后教，哪些课不适合先学后教，我们要看我们的教学目标是什么？培养他的创新思维，让他创造性的学习数学，那我就要求活动的数学。当然我们这里讲的，这都是需要选择的。有的老师可能不习惯活动的数学，他反而质量降低了，他用学现成的数学那套，他可能成绩好，我想对于这点来说，老师要用自己选择的权利，我个人说，我不能强调一定要用活动的数学来教，因为他用活动的数学来教，可能比现成的数学还糟呢，每个老师都有权利让他用自己最好的方式来教，我个人认为。只不过当你教现成数学的时候，你要理解还有更重要的、更先进的数学教育理念。天外还有天就行了。所以我觉得我们的教学应该是百花齐放的。也不是说你一定要用活动的数学来教是最好的，这可能是要结合老师自己的追求，老师有的时候很看重成绩啊，学校领导看成绩，看分数啊，那现成的数学好训练，他竟奔着孩子那种通关的操练，也会得到好成绩，但他的数学是跟不上的，所以我这里就需要有老师自己的价值的判断，价值的选择。如果说那么容易的推行活动的数学，那太好了。实际上我很理解，现在的评价是不利于我们这种理念的。因为活动的数学主要是培养学生的数学素养，培养数学学习的后劲。这些东西往往不见得在考试中占得优势，现在中央教科所有一个研究，非常有意思，中央教科所做了一个课题，就是调查了我们高考以来的我们3000多名的高考状元，他们做了跟踪调查，结果，在我们中国的百名的政治家，百名的科学家，百名的什么什么中，高考状元一个都没有，这说明什么？所以我们得到我们用考试得到很多很多状元，但实际他走上工作以后，他未必是最拔尖的，未必是最优秀的，所以人家说第九名现象，第十名现象，真才实学才是有效果的。所以这些东西要宽容一点。老师不要说你不做活动数学，你观念就很落后，我觉得不应该这样看。老师有权利选择自己，那个教学效果最好的方式来教，不管他是教现成的数学，还是活动的数学，这是我的观点。所以不能以一个标准来衡量老师，这是我的观点。但是我希望很多老师愿意和我一起来做这个事情，可以增加有创造性的因素。这是杜郎口的教学要发展的，要注意的，不能够否定说，杜郎口你那个不行，这个不能这样讲。所以说，对于每一个老师我们都应该宽容一点吧！这是我今天来介绍两种数学，我也不是说就是活动的数学是唯一的天下，不是的，中国的国情，我希望一部分老师追求着理想，把数学研究的视野拓展到活动数学来，我是这样的想法。
哦，这个当然有关系了。刚才顺德的老师说，活动教学跟课程标准的四基有关吗？当然有关了。特别有关系，你看新的课标里面谈到怎么样感悟数学思想，怎么样积累活动经验，活动经验就在做数学和想数学的过程中积累的。这是原话，你看，做数学，想数学，活动的数学就是在做数学和想数学的过程中不断积累的，而数学思想的获得，感悟，也是在不断的做数学活动的过程中和大家不断的交流中感悟的。你看都是数学活动，这数学活动很基本的。
任景业：我们有看到弗赖登塔尔对基本活动经验的原话。他说的是两个方面，第一个方面是要自己经历，在一个方面是心灵上那种感受，这样说的呢，一个是活动，活动就是要学生做经历，第二条就是反思，反思其实也就是一种感悟，基本活动经验呢，一个是满足这两条，而我们强调的基本活动经验呢，却常常是只谈经历，而没有自己的反思，没有自己心灵当中的一种感受。从这点来说呢，基本数学活动经验，和弗赖登塔尔强调的这两条是非常一致的。
王：真的活动是培养学生能力，而不是只看成绩。但是我有一个坚定，就是我认为这样做也能提高成绩。我是这样坚信的，但不一定说就能提高。可以这样说，数学素养好的孩子可能不一定能拿第一名，但至少是前面，我是这样看的。
任：关于数学活动有没有不同的解释，本质是什么？
王：这个不是刚才一句话吗？大家说，数学活动的本质是什么？数学活动的本质特征就是数学生活化，这是弗赖登塔尔说的。数学怎么从生活中来，脱离了现实生活之后，本身又是怎么发展的，这样的一种哪里来哪里去，这就是数学活动的本质。不要离开这个本质，所以数学活动的主要特征就是数学化。就是做数学。
任：还提了一个时间的问题，活动跟课堂时间？
王：这个要探索的。这个必须探索，不能在这里空想。
对，数学化，数学活动的本质就是数学化，可以这样说。把握数学的本质，数学活动的本质，去做数学，想数学，创造数学。
我想是不是要讨论一下，这个范围太广了，是不是真的要有一些人来做。
任：活动课与数学活动有什么区别？
王：课程标准还有一句话很重要，就是综合实践活动，要以问题为载体，以学生自主参与为主的学习，希望要把这种教学方式体现在平时的教学中，我觉得这句话太重要了。左堂学也说，综合实践和平常数学活动没什么区别。
任：数学活动和数学教材中的活动课一样吗？有什么异同？数学活动和数学课中的玩中学数学，它们之间有什么关系？
王：我这个回答不了。我觉得弗赖登塔尔不太主张玩数学，游戏数学。这个讲不来，苏联当中有很多玩数学，数学游戏，如果你得到一个解，那就是数学游戏，如果你得到所有的解，那就是数学了。我就觉得他们应该理解什么是数学化，什么是数学活动的这个理解。然后我觉得今天有200多人，有那么10个很激动，想做，我的效果就达到了。你看看数学活动是不是可以解释成数学思考的过程？这个做的过程还要思考的，这个很清楚的数学活动。
任：是不是这个意思，数学活动呢，我们是在做，但是在做当中呢，我们要学会思考，反思，其实就是一个数学思考。
王：数学活动是不是可以解释成数学思考的过程？这个不完全这样，数学活动的本质就是数学化，数学化有两种东西，你怎么样从现实世界到数学世界，这个不能简单的这样看，那变成目标就是一个了。我们有数学基础知识，基本技能，有数学思考，解决问题，有数学认识，你不能把数学活动归结到数学思考这里面去。
一个老师说，学生自学时，仅限于学习现成的数学，学生的创造技能和创造性如何培养呢？我觉得学习现成的数学，应该超越教材，包括现在，比如说教材展现了几种解法和几种不同的算法，但是要鼓励孩子要用与教材不同的算法，一定要鼓励孩子超越教材，不要把教材当做现成的，正确的，唯一的，这就不利于孩子，教材只是一个例子，但是教材不是唯一的解。所以说学习现成的数学，增加创造的因素，不利于孩子。算法的多样化，解决问题策略的多样化，要超越这个教材，任何对教材的超越都是创造。
任：现成的教材和现成的数学不是一回事。
王：不光是现成的，你写成教材，只要能够超越，都可以。超越教材不要把它当成现成的教材。如何教学生将生活中的问题，转化为数学问题，这个就是横向数学化的问题吧。如何教会学生将生活化的问题转化为数学问题，我觉得这就是一个横向数学的问题，要把现成问题首先转化为数学问题。数学建模也是吧，模型就是现实与理论的中介，所以史宁中教授说数学有三个基本的数学思想，一个就是抽象，一个就是推理，一个就是模型，为什么史宁中教授会讲这三个是基本的数学思想呢？实际上刚刚好和数学化有关系的，数学化从生活的现实到符号的世界，本身就是抽象。所以郑毓信也说生活的数学和学校中的数学最大的区别就是抽象，没有抽象，就进不到数学的门槛里来，所以抽象是数学的本质的思想，然后到了数学世界，怎么来发展数学呢，那就是要推理。推理能够从很少的结论不断的发展，得到很多的结论，数学知识就系统化了，就找到了它们推理间的联系，所以推理又是很重要的东西。然后你倒数学世界，研究很多的数学模型，干嘛呢？在纵向的数学当中，你研究这么多干嘛？又回到现实世界解决问题中，去解决数学的实际问题。那要通过模型，通过模型，把现实问题转化为数学模型，转化为数学问题来解决，就得到解决了。所以方程的方法，函数的方法都是数学模型，就是模型来解决问题，所以史宁中教授讲，数学有三个基本思想，我觉得和数学化是不谋而合。
《数学思想概论》应该看一看，实际上老师们应该对我们大学的高端学子写的书要关注，像史宁中教授所写的一些给小学老师的书，还有郑毓信先生给我们小学老师写的书，《开放的小学数学》及《数学教学和数学思维》等等，这些太重要了，可以从这些书中得到很多东西。现成的数学——活动——再形成学生的数学，应该是这样的吗？所以说我们现在的书都是现成的，怎么把现成的数学变成活动的数学，这有个转换。如何把现成的数学变成活动的，是要我们的教学设计，也就是把现成的数学变成活动的数学，就这个意思，在活动的数学中，通过学生做，不是强加给学生的，而是通过学生自己做把产品做出来，在数学化的过程中，弗赖登塔尔说过，学生好像在接受自己创造的产品，而不是在接受成人给他的东西。这就是数学化。
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