论数学的特点与小学数学教学

义务教育阶段数学课程改革的一个重要思想是加强了数学与生活的联系，以避免数学的枯噪乏味，提高学生数学学习的兴趣和积极性，并透过学生“身边的数学”，让学生体验数学知识的“有用”和树立学生的自信心。“人类生活与数学之间的联系应当在数学课程中得到充分体现”，根据这样的要求，教材编写时也要求“选取密切联系学生生活、生动有趣的素材。”应当说，这样的思考是先进的，符合数学教育规律的，这样的要求也是恰当的。然而，在现实的课堂教学中，由于教师的不同理解以及诸多“示范课”的误导，使得数学课堂教学中只见“生活”而不见“数学”的怪现象屡见不鲜。长此以往，既不利于学生正确数学知识的形成与掌握，也不利于数学课程改革的深入开展。因为数学有其自身固有的特点，数学教学应该而且也必须体现数学的这些特点。

一、数学的特点

数学知识经过几千年的不断发展，形成了区别于其他科学的独有特点，这就是数学的抽象性、严密性（或精确性）和应用的广泛性。

数学的抽象性首先表现在数学概念上。如人们通常所提到的数以及几何概念（如点、线、面、体等）都是抽象的概念，正因为如此，在小学数学教学中，为了让学生理解自然数，都需要举出很多实例。例如，认识数字“ 1 ”时，会让学生先依图说出“一个苹果”、“一头牛”、“一支笔”，然后才抽象出数字“ 1 ”，并告诉学生，数字“ 1 ”除了能描述上述外物体，还可以表示很多很多事物。如“一间教室”、“一个人”、“一个国家”等等。至于几何中的点，则只能在黑板上先画一个“点”示意，然后再加以说明。整数的概念、几何图形的概念都属于最原始的数学概念，在原始的数学概念的基础上又形成有理数、无理数、复数、函数、微分、积分、几何空间以至无穷维空间这样一些抽象程度更高的概念。如果仅仅因为概念是抽象的，那抽象性还不足以作为数学区别于其他学科的特征，因为其他学科的概念亦都具有抽象的特点。除了概念是抽象的以外，数学抽象的特点还在于：第一，在数学的抽象中只保留量的关系而舍弃了其它一切外在的东西；第二，数学的抽象是一级一级逐步提高的，它们所达到的抽象程度超过了其他学科的一般抽象；第三，数学研究对象几乎就是抽象概念和它们的相互关系。自然科学家，为了证明自己的论断常常借助于实验，而数学家证明定理几乎只需要推理和计算。由此可见，数学不仅概念是抽象的，其方法也是抽象的。

数学的严密性表现在数学定义的准确、推理的严密以及数学结论的可靠性上。数学通过它的严密性而培养学生的思维能力，发展学生的思维品质，正是基于此因，而被誉为“思维的体操”。

数学应用的广泛性这一特点，随着信息社会的到来，表现得更加充分，在此不作过多的赘述。

二、现实的忧虑

数学的三个基本特点，除了应用的广泛性体现得比较充分以外，另外两个特点在实际教学中已大大被弱化，这种倾向已越来越严重。此一说法并非危言耸听，下面是笔者了解或亲历的几个课堂教学片段：

课例 1 ：课题：两位数加减两位数

教学过程（导入）：教学时，教师创设了如下情景：博物馆开张了，学校组织了 1 班、 2 班、 3 班、 4 班的部分同学去博物馆参观。为此，联系了两辆车，每辆车限乘 70 人。话音刚落，有学生问道：“老师，什么叫限乘？限乘包不包括司机？”老师很欣赏学生的提问，并要求学生讨论这一问题，于是，学生开始讨论，继而讨论变成了辩论，课堂气氛很活跃，辩论也很精彩。等到学生辩论清楚时，这节课也到了下课的时候了。

课例 2 ：课题：我长高了

教学过程：上课伊始，老师要求学生测量身边物体的长（宽，高）并提出问题，学生们在测量了铅笔、文具盒、桌子、椅子、身高后，提出了“什么比什么高”、“什么比什么长”等问题，老师给予了鼓励，这时，一个同学问道：“老师为什么这样高？”老师答曰：“你真聪明，这个问题提得好，老师小时候注意营养和锻炼身体，所以长得高。我相信你今 后比 老师长的还要高。”这时，不断有同学提出问题，如“世界上谁最高？”“吃什么最有营养，”“为什么男的比女的高”等等，开始是老师问答，后来是学生自由寻找答案。老师一下子难以收场，这节课也就变成了一节营养学的课。

课例 3 ：课题：相似三角形的性质

教学过程：上课开始，老师让学生回忆：“两个三角形相似，对应边成比例”这一结论，然后让学生在准备好的小纸片上画两个相似三角形，并画出对应的高。画完后，教师要求每个学生量出含对应高的小三角形边的长度，并求出对应边的比值（特别强调取近似值），得出结论后，再画出角平分线，重复上述过程，从而得到相似三角形的性质。

应该说，在以上课例的教学过程中，还是比较充分地体现了新课改的诸多理念的，如强调了师生的交往与互动；强调了学生之间的讨论与合作；体现了师生的平等；注重对学生动手能力的培养和自信心的树立；注重学生创新思维的培养与保护；注重情感、态度、价值观的培养；特别是强调了数学与生活的联系。然而，作为一节数学课，仅有这些是不够的。具体而言，上述课例存在以下一些明显的不足。第一，将数学课变成了非数学课，课例 1 将“两位数加减两位数”上成了一节语言课（亦可说成是生活常识课），课例 2 上成了健康课，课例 3 上成了测量课（这是初中的课，却只用到了小学的数学知识）。其实，现实的课堂教学中类似的现象并非个别，将数学课上成了环境课、少先队活动课、美学课（如服装的搭配）也是常见的事。第二，基本数学知识的掌握难以落到实处。计算课中的算理算法，快速而灵活的计算能力等都没有得到应有的培养。第三，数学思维能力特别是逻辑推理能力的培养被虚化。这在课例 3 中表现的尤为突出。相似三角形的性质应该是通过严格的几何证明来得到的，而该课例中只是用量长度，求比值的方法去获得。更令人惊讶的是，教材也是这么要求的。这样的课已经不是数学课或者说不是严格意义上的数学课，它已经将数学的抽象性、严密性丧失殆尽。更令人忧虑的是这种现象并没有引起数学教育界的足够重视，更不用奢谈相关的改进措施了。

三、教学的建议

数学素质是义务教育阶段学生综合素质的重要内容之一，提高学生的综合素质，实施素质教育是当前教育改革的出发点与归宿。而学生数学素质的提高关键在课堂。针对当前数学课堂教学之现状，笔者认为，必须从以三个方面加以改进

1 ．坚持数学教学的“数学性”。

顾名思义，数学教学是教数学，教给学生数学知识和数学思维方法。为此，可以采取多种方式。过去那种数学教学只管教给学生数学结论而后通过大量练习加以巩固，使数学教学变成了习题演算、数学脱离了学生的生活实际变得枯燥而冷漠的教学过程固然不可取，需要改革。但若将数学课变成了非数学课，数学课堂上看不见数学的抽象性与严密性，学生的计算能力得不到提高，学生的数学思维能力得不到培养与提高，学生数学思维品质得不到提升，一句话，数学教学没有“数学性”，这种现象也绝不是大家所愿意见到的。

2 ．正确理解“加强数学与生活的联系”。

“加强数学与生活的联系”，这一数学教学的思想是数学新课改的重要思想之一。它的提出，有其深刻的数学教育背景，也代表了当前数学课程改革的主流方向。加强数学与生活的联系，要求广大教师在课堂教学中，在体现数学特色的前提下，通过数学与生活的联系，体现数学的“有用”（具体而言就是数学在日常生活中随处可见，数学可以用来解决日常生活中的现实问题，数学知识越丰富，数学思想方法越灵活，所能解决的问题就越多），从而树立学生学习数学的信心和积极性。在此过程中，数学本身也不再枯燥而冷漠，变得趣味昂然和亲切可爱，变得魅力十足。

然而，由于种种原因，不少数学教育工作者对此的理解出现了极大的偏差，认为加强教学与生活的联系，就是将“生活”搬到课堂中，或者将数学放到“生活中”去。更有甚者，提出了“数学生活化”的观点，殊不知，“数学生活化”所化掉的不是别的而是数学的特点，就象雪化而成水，水在高温下就化成了汽体一样。数学一旦生活化，就不是数学而变成“生活”了。

3 ．提高教师的自身素质。

之所以数学课的教学失去了数学的特点，对“加强数学与生活的联系”的理解出现偏差与失误，甚至走向极端。虽然有多种原因，但笔者以为，教师自身素质不高是重要原因之一。提高教师的自身素质是当务之急。教师的素质是多方面的，当前亟待提高两方面的素质。

一是教师的数学专业素质。虽然目前小学教师的学历较高（城镇小学教师不少都具有专科甚至本科学历），但大部人的第一学历仍然是中师，从而在数学专业知识方面存在先天不足，导致教师很难用高等数学的眼光去看小学数学的内容，数学的思想方法也只停留在初等数学的范畴，缺乏对数学抽象性、严密性的深刻理解与体验，因而在自身的课堂教学（包括教学设计时）很容易失却数学的这些特点。可以说，数学教学中坚持教学的特点与教师数学专业素养是成正比的。

二是教师的教育理论素养。以前的数学教学，只要能让学生掌握知识，会解题就行。而现在不仅要掌握知识，而且特别强调学生掌握知识的方式方法以及学生在这一过程中的情感变化。这就要求教师转变教学观念。近几年，新的教育教学观念不断涌入，令人眼花缭乱，教师们由于教育理论素养不足，缺乏分辨能力，于是，将自己迷失在这些“新”理论中，不知自己深在何处，只能是“权威”“专家”怎么讲就怎么做，别的学校或老师的“经验”“怎么好”就怎么学。哪还有能力去反思理论与实践。

数学知识有其自身的特点，数学教学有其自身的规律性，只有充分体现数学知识特点，遵循教学教育的规律，才是真正的数学教学，才能提高学生的数学素质进而提高学生的综合素质。这将是一项长期而艰苦的任务，需要我们大家群策群力，不懈地探索才能完成。

内容分析二：数学的本质及其对数学教学的意义

随着数学课程改革的不断深入和发展，数学教育中的许多深层次问题也越来越引起广大教育工作者的重视。象“数学是什么？”、“数学来自于哪里？”这些涉及数学（或数学知识）的本质问题就是诸多深层问题中的一个重要问题。正确理解数学的本质对于树立正确的数学教育观念及数学课程改革的继续发展有着巨大的现实指导意义。

一、数学是什么

作为一个现代人，不知道“数学”的人恐怕不多，但能将数学是什么解释得很清楚的人恐怕也不是很多。其实，即使作为专业的数学工作者，由于各自的经历和所持观点的不同，对数学是什么的回答也有相当大的差异。

1．数学是系统化了的常识

这是国际著名数学家和数学教育家汉斯?弗赖登塔尔（Hans Freudenthal）的观点。他认为数学的根源是普通常识，作为常识的数学随着语言，从说话到阅读和写作的进步与发展，数学也不断地扩展着。如数概念的获得，主要是由口头语言中相应的数词来支持的（如一个人、一支笔、……，得到“1”），在这个过程中，首先是数学思想的语言表达。

普通常识是有等级的，普通常识由经验上升成规律后，这些规律再次成为普通常识，即较高层次的常识。弗赖登塔尔曾经说过，“为了真正的数学及其进步，普通的常识必须要系统化和组织化。如同以前一样，普通常识的经验被结合成为规律（比如加法的交换律），并且这些规律再次成为普通的常识，即较高层次的常识，作为更高层次数学的基础——一个巨大的等级体系，是由于非凡的相互影响的力量来建立的。” ①

2．数学是人为规定的一套语言、符号系统

这是部分数学史家们的看法。持这种观点的人虽然不多，但很有代表性，它给了我们认识数学是什么的一个新角度。翻开一部数学史，除了早期的数学与生活有着非常高的关联度，还需借助现实的生活事实去解释外，后来数学就越来越关注自己的“语言、符号”了。这种现象最早可追溯到欧几里得的《几何原本》，到了现代，数学的这种特性表现得更加充分。

当然，数学作为人为规定的一套语言、符号系统，必须要有一定的条件。通俗点讲，就是这套语言、符号系统必须能自圆其说，高雅点讲，这套系统必须是完备的。举例来说，如果你规定1+1=3，在此基础上去构造一套语言、符号系统，并且能自圆其说，也许一个新的数学分支就诞生了。数学史上不乏这样的先例。如伽罗瓦的群论，康托尔的集合论等等，当初他们出现在数学家们的眼前时，并不为大家所认可。但事实证明，这些是数学，而且是非常重要的数学内容。由于康托尔的集合论在自圆其说方面有一点小小的问题，从而导致了历史上的一次严重的数学危机。随着这一危机的解决，集合论变得更完备，数学的基础变得更加稳固。集合论的创立是数学史上的一个巨大成就，以至于今天的小学数学教学中，都必须渗透集合论的思想，从而提高学生的数学认知能力。

3．数学是确定无疑的绝对真理

这是数学家及部分数学哲学家们的观点。对于他们而言，任何知识都可能出错，唯独只有数学是不会出错的，是可靠知识的唯一代表。在他们看来，演绎法为数学知识是绝对真理提供了保证。首先，数学证明中的基本陈述视其为真，数学公理假定为真，数学定义令其为真，逻辑公理认其为真。其次，逻辑推理规则保持真理性即只承认由真理推导出来真理。以上述两个事实为基础，可知演绎证明中的每个陈述包括它的结论都为真。于是，“由于数学定理都是由演绎证明所确定，因此它们都是可靠真理。这就形成了许多哲学家所断言的数学真理就是可靠真理的基础。” ②

在这种观点之下，如果数学出现了矛盾或问题，那不是数学本身的错，而是人们的认识还未到达相应的境界，数学家和哲学家们会想办法去解决这些矛盾和问题，解决矛盾和问题的过程本身又促进了数学的发展。如 的出现，对于古希腊的数学家们来说，犹如晴天劈雷，难以接受，故而将其称为“无理数”。然而，正是为了使“无理”变得“有理”，数概念的范围从有理数扩展到了实数，促进了数学的发展。后来为了解决函数论和集合论中的一些矛盾，数学哲学也得到了较大发展，形成了逻辑主义、形式主义和构造主义（包括直觉主义）三大学派。

4．数学是可误的且可纠正的。

这是部分数学哲学家们的观点，他们反对数学是绝对真理的主要理由是绝对观可归结为“假设——演绎”方法，数学真理和证明依据演绎和逻辑，但逻辑本身缺乏可靠基础，它还要依据不可简约的假设。“但任何没有坚实基础的假设，不管它是从直觉、约定、意义或以其他任何方式所导出的，都是可误的。” ③因此，他们认为数学是可纠正的且永远要接受更正。

二、数学的源泉什么

“数学的本质涉及数学知识的源泉或数学发展的动力问题。”[3]对数学源泉是什么的回答有两个答案：经验和逻辑（演绎）。

数学的经验性是从应用的角度来看待数学的。把数学理论作为一种解决实践中提出的数学问题的工具，工具在实践中可以不断改进，甚至发明新的工具。数学家们在解决数学问题时，循着“现实（生产、生活和社会中的）问题→建立数学模型→求解模型→验证模型的解”这样的思路进行。当社会还不发达，这样的现实问题（也就是数学研究的对象）还不多时，解决问题的工具也就不需要太多，因而，数学在其早期发展是非常慢的。这在古代中国的数学发展中表现得尤其充分，以至于一部《九章算术》可以管一千多年。随着社会的进步，科学技术的发展，现实的问题越来越多，越来越复杂，对解决这些问题的工具的要求也越来越高，出现了大量的新的数学概念、规则以及理论问题，从而产生了许多新的数学分支和数学理论。

新的数学概念和规则，它们之间的联系和区别是什么？要解决这类问题，就必须对数学内部的关系进行研究。从而使数学研究的对象从现实问题悄悄转向了数学内部，它们不再依赖于具体的现实，而是从理论上进行抽象的逻辑推导。数学研究对象和方法的转变，促进了数学的发展，产生出新的数学概念和数学理论。这些数学理论有些可以很快用于解决实际问题，有的则未必。但这并不能否认它作为数学的存在。据说，著名华人数学家陈省身所创立的数学理论，要到本世纪五十年代才有可能应用于现实生活。数学研究对象的变化，导致了数学源泉的变化；从现实问题转向了数学内部，这就是上面所提到的逻辑。笔者更愿意将这一转变看成是数学的源泉或动力由外部的现实问题转向了数学内部的矛盾运动。数学内部的矛盾运动将是推动数学发展的主要源泉和动力。

三、对数学教学的启示

由上述关于数学是什么以及数学源泉的讨论，不难发现，人们对数学是什么的认识并不一致，这表明数学是多姿多彩的，不同的人可以欣赏到数学不同的美。而数学的源泉除了生活实践外，还有数学内部的矛盾运动，这说明数学来源的多样性。所有这些讨论，对今天的数学教学（特别是新课改之后）有极强的现实意义和极大的启示，具体表现在以下几个方面：

第一，数学教学应引导学生欣赏数学的真理美，追求数学的真理美。

迄今为止，数学家们还是秉持数学是绝对真理的观点。如果数学的基础出了问题（就象历史上的几次数学危机），数学家们不是回避，而是进行更深入的研究，从而促进了数学的发展。数学的绝对真理观通过逻辑推理得以保证，因而抽象性、严密性成了数学的主要特点。抽象的概念，严格的推理，创新的方法，完美的形式，精确的结论构成了数学的真理美。数学家们通过对数学真理美的追求，不仅创造出新的数学理论，而且自身的精神品质亦得到升华。今天的数学教学应该引导学生去欣赏数学的真理美，追求数学的真理美。在这一过程中学习数学知识，愉悦学生的心身，完善学生的人格。那种课堂上热热闹闹，快快乐乐，课堂下浑浑噩噩，不知所云的数学教学，属于舍本逐末的教学，忘却了数学教学的真谛，并不是真正的数学教学。

第二，树立学生的自信心，培养学生的创新意识。

数学是可误的，可纠正的；数学是常识；数学是一套人为规定的语言、符号系统。所有这些观点，对数学教学的意义在于，要让学生懂得不迷心权威和已有的结论，正确的东西有时可能隐藏在“错误”之中，要敢于提出不同的问题、观点和方法（当然，对这些观点的论证还是应该非常严密），用一句流行的广告词来说，就是不怕做不到，就怕想不到，从而培养学生的创新意识和创新精神。那种在数学教学中，教师创设“探索”的环境，设置探索的“路线图”，让学生按图索骥的“创造”、“创新”并不是真正的创新，极端一点地讲，这是教师挖好“陷阱”，让学生去跳。久而久之，学生就不会上当，就会兴味索然，变得毫无意义。真正的创新，是让学生展开想象的翅膀，在无拘无束中去规定自己的语言，符号系统，等待老师、同学以及自己的纠正。在这样的过程中，学会思考、学会方案的设计，学会方法的选择和使用，学会是非的辨别，树立自己的信心。

第三，坚持全面的数学来源观，正确处理数学与生活的联系。

从本体论的角度，数学的研究对象既存在于数学外部（生产、生活和社会现实中的问题），也存在于数学内部（数学概念及其关系），而从认识论的角度，数学的本质则表现为经验和逻辑。它要求我们的数学教学，既要扎根于现实情境，也要顾及数学内部的矛盾运动。那种不管数学内容，不管学生年龄特征而片面强调数学与生活的联系，只要是数学就必须找到现实原形的数学教学，并不可取，也无助于学生数学的发展，高年段的学生尤其如此（这就是为什么随着学生年龄的增长，数学知识的增多，联系生活实际越来越困难的原因所在）。究其因，是坚持了片面的数学来源观，只看见“数学来源于生活”，看不见数学来源于数学内部的矛盾运动，从而导致数学课堂具有浓郁的“生活味”，而缺乏厚重的“数学感”。这样的数学教学，短期看，可以提高学生数学学习的兴趣，长远观之，则缺乏后劲，将为学生所抛弃。毕竟，一个人对数学的真正兴趣还是来自于数学的内部。

正确认识数学本质，把握数学本质，我们才能够在纷繁复杂的现实情境中找到正确的方向，我们的数学教学才能沿着正确的轨道前行。

注释：

①弗赖登塔尔著，刘意竹，杨刚等译《数学教育再探——在中国的讲学》，上海教育出版社，1993年，第14页。

②Palu Ernest著，齐建华，张松枝译《数学教育哲学》，上海教育出版社，1998年，第9页。

③林夏水著《数学哲学》，商务印书馆，2003年，第310页。