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标题: 高中数学：为什么互相垂直的两个向量乘积为零? [打印本页]

作者: etthink 时间: 2022-12-12 07:40
标题: 高中数学：为什么互相垂直的两个向量乘积为零?
作者：天下无难课
链接：https://www.zhihu.com/question/367450778/answer/985293647

两个向量a,b内积定义式为：a·b=a₁b₁+a₂b₂+…+aₙbₙ。为方便解说起见，我们用二维向量来解释一下，两个向量a(a₁,a₂)和b(b₁,b₂)内积时，有a·b=a₁b₁+a₂b₂。如果a,b是正交(垂直)的，结果会如何？这猛一看，还真不好说，但若把条件特定一下，比如说a在x(i基)轴上，b在y轴(j基)上，二者垂直，则显然有a₂=b₁=0，结果有a·b=a₁·0+0·b₂=0。你会问，那如果不是这个特殊位置的，a,b不各自与x,y轴重合，而是偏转了一个角度呢？假设这个角度是β(a与x轴的角度)，那会如何？还能有a·b=0么？这时，a₁=|a|cosβ，a₂=|a|sinβ，b₁=|b|cos(β+90°)，b₂=|b|sin(β+90°)，a·b=|a||b|cosβcos(β+90°)+|a||b|sinβsin(β+90°)。我们根据三角函数公式知道，sin(β+90°)=cosβ，cos(β+90°)=-sinβ，结果有a·b=|a||b|(-cosβsinβ+sinβcosβ)=0。这说明，只要a与b垂直，则无论a,b相对x,y轴偏转到怎样的角度β，它们的内积都与a,b各自与x,y轴重合一样，结果为零。a,b相互垂直时，它们的内积为零是必定的。那么，如果a,b之间的夹角不为零时，比如为θ，内积的结果会是啥？这你一定知道，就是：a·b=|a||b|cosθ。其实很多人的疑问是：两个向量的分量(坐标值)的乘积和怎么会正好两个向量模长的成绩与它们夹角的余弦的乘积呢？你按上面的三角函数公式，把90°换成θ，结果就出来了。而且最后仅仅与θ有关，还是没β啥事。
从后一公式可以看出内积的几何意义，就是一个向量a的模长在另一个向量b上的投影长度|a|cosθ与该向量模长|b|的乘积，θ是a,b夹角。如果你认这个"原理式"，你就秒明白，若二者垂直了，投影就为零了，内积当然为零啦。

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